2020-2021学年北师大版高中数学必修1：第二章-函数-单元同步测试.docx

阶段性检测卷二
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
答案　D
2．已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，x－y)，则(1,2)关于f的原像是(　　)
A．(1,2) B．(3，－1)
C. D.
解析　由得故选C.
答案　C
3．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
答案　A
4．下列函数中，是同一函数的是(　　)
A．y＝(x－1)0与y＝1
B．y＝x与y＝
C．y＝|x|与y＝
D．y＝x2与y＝(x－1)2
解析　A中y＝(x－1)0的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，y＝1的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；B中y＝的定义域为[0，＋∞)，y＝x的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数，D中的对应法则不同．
答案　C
5．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
解析　由－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，故函数f(2x＋1)的定义域为.
答案　B
6．若在[1，＋∞)上，函数y＝(a－1)x2＋1与y＝均单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．a>1
C．0≤a≤1 D．0<a<1
解析　明显a≠1，且a≠0，
由题意得得0<a<1.
答案　D
7．设f(x)是定义在R上的增函数，则(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋1)<f(2a) D．f(a2＋1)>f(a)
解析　∵a2＋1－a＝2＋>0∴a2＋1>a，由函数的单调性可知f(a2＋1)>f(a)．
答案　D
8．函数y＝x的图像大致是下图中的(　　)

解析　y＝x为奇函数，定义域为R，且>1，∴x>0时图像是下凸的，故选B.
答案　B
9．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析　由已知<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.
答案　A
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)
A．[，) B．(，)
C．(，) D．[，)
解析　作出示意图可知：

f(2x－1)<f⇒－<2x－1<，即<x<，故选B.
答案　B
二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)
11．设函数f(x)＝则f(－4)＝________，若f(x0)＝8，则x0＝________.
解析　f(－4)＝(－4)2＋2＝18，
由f(x0)＝8，得或
得x0＝－，或x0＝4.
答案　18　－或4
12．函数y＝(m2－m－1)·xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，则m＝________.
解析　由题意得m2－m－1＝1，得m＝2，或m＝－1，当m＝－1时，y＝x0不合题意，当m＝2时，y＝x－3，符合题意．
答案　2
13．将y＝的图像沿x轴向右平移1个单位，再向上平移两个单位得到的函数的解析式为________．
答案　f(x)＝
14．函数f(x)＝x2＋2mx＋1在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，则实数m＝________.
解析　由于f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，知f(x)的对称轴为x＝－1，即－m＝－1得m＝1.
答案　1
15．函数y＝x2－2x＋5，在x∈[1,2]上的最大值是________，最小值是________．
解析　∵函数y＝x2－2x＋5在[1,2]上单调递增，∴当x＝1时，ymin＝1－2＋5＝4，当x＝2时，ymax＝4－4＋5＝5.
答案　5　4
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(12分)求函数f(x)＝的定义域．
解　欲使该函数有意义，需
得即x≥－，且x≠2.
∴该函数的定义域为∪(2，＋∞)．
17．(12分)已知幂函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式．
解　由题意得－2m2＋m＋3>0，得－1<m<，
又m∈Z，m＝0，或m＝1，又f(x)为偶函数，
∴m＝1，f(x)＝x2.
18．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，
(1)若对于任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，求实数a的值；
(2)若f(x)为偶函数，求a的值．
解　(1)∵f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)关于x＝1对称，∴－＝1，
∴a＝－2.
(2)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴x2－ax＋b＝x2＋ax＋b，
∴a＝0.

19．(13分)如图所示，函数的图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
解　设左侧射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)，
∵(1,1)，(0,2)在射线上．
∴得
∴x≤1时，f(x)＝－x＋2.
设右侧射线对应的解析式为y＝k1x＋b1(x≥3)，
∵(3,1)，(4,2)在射线上，∴
得∴当x≥3时，f(x)＝x－2.
设1≤x≤3时f(x)＝a(x－2)2＋2，
将(1,1)代入上式得a＝－1.
∴当1≤x≤3时，f(x)＝－(x－2)2＋2＝－x2＋4x－2.
综上得f(x)＝
20．(13分)求函数f(x)＝(4－3a)x2－2x＋a在区间[0,1]上的最大值．
解　(1)当4－3a＝0，即a＝时，f(x)＝－2x＋在[0,1]上为减函数，∴f(x)max＝f(0)＝.
(2)当a>时，4－3a<0，开口向下，对称轴为x＝<0，则二次函数在区间[0,1]上为减函数
∴f(x)max＝f(0)＝a.
(3)当a<时，4－3a>0，开口向上，对称轴为x＝>0，
①当0<≤时，即a≤时，
f(x)max＝f(1)＝2－2a，
②当>时，即<a<时，
f(x)max＝f(0)＝a，
综上所述，当a>时，f(x)max＝a；
当a≤时，f(x)max＝2－2a.
21．(13分)已知函数f(x)＝是定义域为(－1,1)的奇函数，且f＝.
(1)求实数a，b的值．
(2)推断f(x)在(－1,1)上的单调性，并用定义证明．
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解　(1)有解得a＝1，b＝0.
(2)f(x)在(－1,1)上是增函数，证明如下：在(－1,1)上任取两数x1和x2且－1<x1<x2<1，
则f(x1)－f(x2)＝
∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1－x1x2>0，
故f(x1)－f(x2)＝<0，
∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上为增函数．
(3)f(x)为奇函数，定义域为(－1,1)，由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
∵f(x)在(－1,1)上为增函数，
∴－1<t－1<－t<1，解得0<t<.
所以原不等式的解集为.