高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章-典型例题：数系的扩充.docx

“数系的扩充”例题精析
例1 实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.
分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a、b∈R)的形式，然后依据复数的分类标准对其实部与虚部进行争辩，由其满足的条件进行解题.
解: z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i
=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i.
∵m∈R,∴z的实部为m2+5m+6,虚部为m2－2m－15.
①要使z为实数，必有∴m=5或m=－3.
②要使z为虚数，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3.
③要使z为纯虚数，必有
即
∴m=－2.
④要使z对应的点在第三象限，
必有
∴－3<m<－2.
⑤要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m2+5m+6,m2－2m－15)满足方程x+y+4=0，
∴(m2+5m+6)+(m2－2m－15)+4=0.
解得m=－或m=1.
⑥要使z的共轭复数的虚部为12，则－(m2－2m－15)=12,
∴m=－1或m=3.
评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是依据题设条件把复数整理成z=a+bi(a、b∈R)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.
例2 已知复数z1满足(z1－2)i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2.
分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是依据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.
解:由(z1－2)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(－i)+2=3－i.
∵z2的虚部为2，∴可设z2=a+2i(a∈R),
z1·z2=(3－i)(a+2i)=(3a+2)+(6－a)i为实数，
∴6－a=0,即a=6.
因此z2=6+2i.
评注: 把握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.

例3 复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线l,设l上的点对应的复数为z,求所对应的点的轨迹.
分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.由于在复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(b∈R),然后再求所对应的点的集合.
解:如图.由于点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(b∈R).

因此.
设=x+yi(x、y∈R),于是x+yi=i.
依据复数相等的条件,有
消去b,有x2+y2=
===x.
所以x2+y2=x(x≠0),
即(x－)2+y2=(x≠0).
所以所对应的点的集合是以(,0)为圆心,为半径的圆,但不包括原点O(0,0).
评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成一般方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要留意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否接受了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.