【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.6.docx

第八章 8.6 第6课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为(　　)
A．8　　　　　　　　　　　　B．4
C．2 D．0
答案　B
解析　因x＝8,2,0时都不满足a∥b.
而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.
另解：a∥b⇔存在λ>0使a＝λb⇔(8，，x)＝(λx，λ，2λ)
⇔⇔.∴选B.
2．已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
答案　C
解析　依据题意得＝(a－b)，∴，a，b共面．
3．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则＋ (＋)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　依题意有
＋(＋)＝＋·2＝.
4．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为(　　)
A．平行四边形 B．梯形
C．平面四边形 D．空间四边形
答案　D
解析　由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件冲突，所以该四边形是一个空间四边形．
5．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若＋＋＝λ，则λ等于(　　)
A．1 B．3
C. D．2
答案　B
解析　若设BC边的中点为M，则＋＋＝＋2＝＋＋2＝＋2＋2＝3，而＋＋＝λ，所以λ＝3.
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是(　　)
A．90° B．60°
C．30° D．0°
答案　D
解析　如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为a，则A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，

∴＝ (a,0，a)，
＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，a)．
∵EF是直线AC与A1D的公垂线．
∴⊥，⊥.设＝(x，y，z)，
∴·＝(x，y，z)·(a,0，a)＝ax＋az＝0，
∴·＝(x，y，z)·(－a，a,0)＝－ax＋ay＝0.
∵a≠0，∴x＝y＝－z.
∴＝(x，x，－x)．∴＝－.
∴∥，即BD1∥EF.
二、填空题
7.

在四周体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋×(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：
①(＋＋)2＝3()2
②·(－)＝0.
③与的夹角为60°
④此正方体体积为：|··|
则错误命题的序号是________(填出全部错误命题的序号)．
答案　③④
解析　③AD1与A1B两异面直线夹角为60°，但与的夹角为120°，＝，留意方向．
④∵·＝0.正确的应是||·||·||.
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则|OP|的最小值为____．
答案　
解析　

以A为坐标原点，AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(1,1,0)．
设P(x,1,1)(0≤x≤2)．
则|OP|＝
＝.
所以当x＝1，即P为C1D1中点时，|OP|取最小值.
10．已知空间四边形ABCD，·＋·＋·＝________.
答案　0
解析　·＋·＋·
＝(－)＋·＋·
＝·－·＋·＋·
＝·(＋)－(＋)
＝·－·＝0.
11．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
答案　
解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|＝
＝，
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.
三、解答题
12．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a.求证：A′B⊥AC′.

解析　解法1　＝－，
＝＋＋，
∴·＝(－)(＋＋)
＝＋·＋·－·－－·
由已知：||＝||＝a，知＝
又·＝·＝·＝0
∴·＝0，即A′B⊥AC′.
解法2　建立空间直角坐标系，也易证．
13．如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.

(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．
解析

　(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，
在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝.
∴DE＝CD·sin30°＝.
OE＝OB－BD·cos60°＝1－＝.
∴D点坐标为(0，－，)，
即向量的坐标为(0，－，)．
(2)依题意：＝(，，0)，
＝(0，－1,0)，＝(0,1,0)．
∴＝－＝(－，－1，)，
＝－＝(0,2,0)．
设向量和的夹角为θ，
则cosθ＝
＝
＝＝－.∴cosθ＝－.

14．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1＝A1C.
解析　∵＝＋，＝＋，·＝(＋)·(＋)＝·－||2＝0，
∴||2＝·.
同理，＝＋，
＝＋，
·＝·＋||2＝0(∵＝)，
∴·＋·＝0.
又＝，∴·(＋)＝0.
设D为BC的中点，连AD，则＋＝2.
∴2·＝0，∴BC⊥AD，∴AB＝AC.
又A1A＝B1B，∴Rt△A1AC≌Rt△B1BA(SAS)，
∴A1C＝AB1.
15．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa＋μb与z轴垂直．
解析　∵2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)，
3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)，
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，
|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
由(λa＋μb)·(0,0,1)
＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)
＝－4λ＋8μ＝0知，
只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa＋μb与z轴垂直．

老师备选题

1．如右图所示，已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x、y、z的值分别是(　　)

A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
答案　D
解析　由于＝2，所以＝，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋(＋－)
＝＋＋－
＝＋＋，故选D.
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，求B、D间的距离．

解析　∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.
∵AB和CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.
∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝
∴||＝2或，即B、D间的距离为2或.