2021高考数学(文)一轮知能检测：第3章-第6节-正弦定理和余弦定理.docx

[全盘巩固]
1．已知△ABC，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，则此三角形的最大内角的度数是(　　)
A．60° B．90° C．120° D．135°
解析：选B　依题意和正弦定理知，a∶b∶c＝1∶1∶，且c最大．
设a＝k，b＝k，c＝k(k＞0)，
由余弦定理得，cos C＝＝0，
又0°＜C＜180°，所以C＝90°.
2．(2021·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A．2 B．2 C. D．1
解析：选B　由已知及正弦定理得＝＝＝，所以cos A＝，A＝30°.
结合余弦定理得12＝()2＋c2－2c××，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝2.
3．(2022·沈阳模拟)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　由余弦定理得：()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
4．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC的外形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
解析：选D　由条件得＝2，
即2cos Bsin C＝sin A.
由正、余弦定理得，2··c＝a，
整理得c＝b，故△ABC为等腰三角形．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC等于(　　)
A. B. C. D．2
解析：选C　∵A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，∴B＝60°.
又a＝1，b＝，
∴＝，
∴sin A＝＝×＝，
∴A＝30°，∴C＝90°.
∴S△ABC＝×1×＝.
6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B·sin C，则A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A，于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥.留意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈.
7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝________.
解析：由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B·(sin2A＋cos2A)＝sin A，所以sin B＝sin A．所以＝＝.
答案：
8．(2022·深圳模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
解析：由题意知sin A＝，sin B＝，则
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos AsinB＝，
所以c＝＝.
答案：
9．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为________．
解析：由正弦定理得：＝＝＝，即＝＝2，则BC＝2sin A，AB＝2sin C，
又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sin A＋2sin C＋＝2sin(120°－C)＋2sin C＋＝2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＋2sin C＋＝cos C＋sin C＋2sin C＋＝cos C＋3sin C＋＝(sin C＋cos C)＋＝2sin C＋cos C＋＝2sin＋.故△ABC的周长的最大值为3.
答案：3
10．(2021·浙江高考)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
解：(1)由2asin B＝b及正弦定理＝，
得sin A＝.由于A是锐角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝36.
又b＋c＝8，所以bc＝.
由三角形面积公式S＝bcsin A，得
△ABC的面积为.
11．(2022·杭州模拟)设函数f(x)＝6cos2x－sin 2x(x∈R)．
(1)求f(x)的最大值及最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f(A)＝3－2，B＝，求的值．
解：(1)f(x)＝2cos ＋3.
故f(x)的最大值为2＋3，最小正周期T＝π.
(2)由f(A)＝3－2，得2cos＋3＝3－2，
故cos＝－1，
又由0<A<，得<2A＋<π＋，
故2A＋＝π，解得A＝.
又B＝，∴C＝.
∴＝2cos C＝0.
12．(2021·重庆高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2 ＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
解：(1)由于a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－.
又0<C<π，故C＝.
(2)由题意得
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
由于C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
由于cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝，
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
[冲击名校]
1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos C，则＋＝________.
解析：∵＋＝6cos C，∴＋＝6·，化简得a2＋b2＝c2，则＋＝tan C·＝＝＝＝4.
答案：4
2．(2021·福建高考)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．

(1)若OM＝，求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理，得OM2＝OP2＋PM2－2×OP×PM×cos 45°，
得PM2－4PM＋3＝0，
解得PM＝1或PM＝3.
(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理，得＝，
所以OM＝，
同理ON＝.
故S△OMN＝×OM×ON×sin∠MON
＝×
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
由于0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.
[高频滚动]
1．已知sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，且x，y为锐角，则tan(x－y)＝(　　)
A. B．－ C．± D．±
解析：选B　∵sin x－sin y＝－，x，y为锐角，
∴－＜x－y＜0，又
①2＋②2，得2－2sin xsin y－2cos xcos y＝2＋2，
即2－2cos(x－y)＝，得cos(x－y)＝，又－＜x－y＜0，
∴sin(x－y)＝－＝－＝－，
∴tan(x－y)＝＝－.
2．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
解析：由于α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝sin 2·cos －cos 2·sin ＝.
答案：