2020-2021学年人教A版高中数学必修1：第二章-基本初等函数-单元同步测试.docx

其次章测试
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列各式：
①＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③ ＝x＋y；④ ＝.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　仅有②正确．
答案　B
2．函数f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(　　)
A．(1,0) B．(1,1)
C. D.
解析　令4x－3＝1，得x＝1.又f(1)＝loga(4×1－3)＝loga1＝0，故f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(1,0)．
答案　A
3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝－2x
C．y＝log0.1x D．y＝x
答案　D
4．设y1＝40.9，y2＝log4.3，y3＝1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析　由于y1＝40.9>40＝1，
y2＝log4.3<log1＝0，
0<y3＝1.5<0＝1，所以y1>y3>y2.
答案　D
5．已知集合A＝{y|y＝2x，x<0}，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝(　　)
A．{y|y>0} B．{y|y>1}
C．{y|0<y<1} D．∅
解析　A＝{y|y＝2x，x<0}＝{y|0<y<1}，B＝{y|y＝log2x}＝{y|y∈R}，∴A∩B＝{y|0<y<1}．
答案　C
6．假如某林区森林面积每年比上一年平均增长10%，经过x年可以增长到原来的y倍，那么函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析　假设原来森林面积为1，则y＝(1＋10%)x＝1.1x.
答案　D
7．已知0<a<1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则(　　)
A．x>y>z B．z>y>x
C．y>x>z D．z>x>y
解析　x＝loga＋loga＝loga＝loga6，
z＝loga－loga＝loga＝loga7.
∵0<a<1，∴loga5>loga6>loga7.
即y>x>z.
答案　C
8．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1 B.ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析　与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案　D
9．已知四个函数①y＝f1(x)；②y＝f2(x)；③y＝f3(x)；④y＝f4(x)的图象如下图：

则下列等式中可能成立的是(　　)
A．f1(x1＋x2)＝f1(x1)＋f1(x2)
B．f2(x1＋x2)＝f2(x1)＋f2(x2)
C．f3(x1＋x2)＝f3(x1)＋f3(x2)
D．f4(x1＋x2)＝f4(x1)＋f4(x2)
解析　结合图象知，A、B、D不成立，C成立．
答案　C
10．设函数f(x)＝已知f(a)>1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析　当a≤0时，f(a)＝a－3>1，解得a<－2；
当a>0时，f(a)＝a>1，解得a>1.
综上a的取值范围是(－∞，2)∪(1，＋∞)
答案　B
11．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)<f(lgx)的解集是(　　)
A．(0,10) B.
C. D.∪(10，＋∞)
解析　由于f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由于f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lgx|>1，即lgx>1或lgx<－1，解得x>10或0<x<.
答案　D
12．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝f，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
解析　由于log<log2＝2，
0<log<log＝1，
所以log<log<2.
由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(log)<f(log)<f(2)，
由于f(x)是偶函数，所以
a＝f＝f(－log)＝f(log)，
b＝f＝f(－log)＝f(log)，
c＝f(－2)＝f(2)．所以c>a>b.
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数y＝的定义域是________．
解析　由log (x－4)≥0得0<x－4≤1，
∴4<x≤5.故函数的定义域为(4,5]．
答案　(4,5]
14．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如下图所示，则a＝________，b＝________.

解析　由图象过点(－2,0)，(0,2)知，loga(－2＋b)＝0，logab＝2，∴－2＋b＝1，b＝a2.∴b＝3，a2＝3.由a>0，知a＝.∴a＝，b＝3.
答案　　3
15．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
解析　依据题意画出f(x)的草图，由图象可知，f(x)>0的x的取值范围是－1<x<0，或x>1.

答案　(－1,0)∪(1，＋∞)

16．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1，已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．
解析　

作出函数y＝2|x|的图象(如图所示)
当x＝0时，y＝20＝1，
当x＝－1时，y＝2－1＝2，
当x＝1时，y＝21＝2，
所以当值域为[1,2]时，区间[a，b]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.
答案　1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各题：
(1)0.0081＋2＋()－16－0.75；
(2)(lg5)2＋lg2·lg50＋21＋log25.
解　(1)原式＝(0.34) ＋2＋2－24×(－0.75)＝0.3＋2－3＋2－2－2－3＝0.55.
(2)原式＝(lg5)2＋lg2·lg(2×52)＋2·2
＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＋2
＝(lg5＋lg2)2＋2＝1＋2.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(ax＋b)，若f(2)＝1，f(3)＝2，求f(5)．
解　由f(2)＝1，f(3)＝2，得⇒⇒∴f(x)＝log2(2x－2)，
∴f(5)＝log28＝3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明f(x)在定义域内是减函数．

解　(1)∵f(x)＝－2x＝－2，
∴f(x)的定义域为[0，＋∞)．

20．(本小题满分12分)设f(x)＝
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小值．
解　(1)由于log2<log22＝1，
所以f＝＝.
(2)当x∈(－∞，1]时，f(x)＝2－x＝x在(－∞，1]上是减函数，所以f(x)的最小值为f(1)＝.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)，
令t＝log3x，则t∈(0，＋∞)，
f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)＝2－，
所以f(x)的最小值为g＝－.
综上知，f(x)的最小值为－.

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a>1>b>0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式．
解　(1)由ax－bx>0，得x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴x>0.
即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)∵f(x)在(1，＋∞)上递增且恒为正值，
∴f(x)>f(1)，只要f(1)≥0.
即lg(a－b)≥0，∴a－b≥1.
∴a≥b＋1为所求．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当x<0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．