【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第8章-第4节-椭圆.docx

第八章　第四节

一、选择题
1．(文)(2022·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　先将x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.
(理)若P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　在Rt△PF1F2中，不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝.
2．(文)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，始终线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A．32　　 B．16　　
C．8　　　 D．4
[答案]　B
[解析]　由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.
(理)(2021·浙江绍兴一模)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)
A．2　　　 B．4　　　
C．8　　　 D．
[答案]　B
[解析]　连接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8.
如图，|ON|＝|MF2|＝4.故选B．

3．(文)(2022·佛山月考)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　)
A．1　 B．　
C．2　 D．
[答案]　D
[解析]　由题意知，c2＝a2－b2＝4－1＝3，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.
(理)F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为(　　)

A．圆　 B．椭圆　
C．双曲线　 D．抛物线
[答案]　A
[解析]　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，
∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，
∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，
∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．
4．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为(　　)
A．　 B．－1
C．－1或　 D．
[答案]　C
[解析]　当∠F1PF2为直角时，P为椭圆短轴端点，∴b＝c，∴＝，∴e＝；当∠F1F2P或∠F2F1P为直角时，＝2c，∴b2＝2ac，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，
∴e＝－1.
5．(文)(2021·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)
A．＋＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1　 D．＋＝1
[答案]　A
[解析]　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.
(理)(2021·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A．＋＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1　 D．＋＝1
[答案]　D
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A、B在椭圆上，
∴两式相减得，＝，
即＝，
∵AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
∴k＝＝，
又∵k＝＝，∴＝，
又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1，故选D．
6．(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1　 D．＋＝1
[答案]　A
[解析]　∵|F1F2|为定值，∴当P在短轴端点时，S△F1PF2最大，
∵∠F1PF2＝，∴∠PF1F2＝，∴tan＝，
∵c＝3，∴b＝，
∴a2＝b2＋c2＝12，椭圆方程为＋＝1.
二、填空题
7．(2021·池州二模)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为________．
[答案]　8
[解析]　M(，0)与F(－，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.
8．已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．
[答案]　＋＝1
[解析]　平面区域Ω：
是一个矩形区域，如图所示，

依题意及几何概型，可得＝，即ab＝2.
由于0<a≤2,0<b≤，所以a＝2，b＝.
所以，椭圆M的方程为＋＝1.
9．(2022·山东济南二模)若椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出以下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2确定没有公共点；②>；
③a－a＝b－b；④a1－a2<b1－b2.
其中，全部正确结论的序号是________．
[答案]　①③④
[解析]　由于两椭圆焦点相同，且a1>a2，故b1>b2，因此两椭圆必无公共点，即命题①为真命题；又由于两椭圆焦点相同，a1>a2，ab＝a(a－c2)<a(a－c2)＝ab，故<，即命题②为假命题；由焦点相同得a－b＝a－b，故a－a＝b－b，即命题③为真命题；由于a－a＝b－b，即(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)⇒＝<1，故有a1－a2<b1－b2，即命题④为真命题，综上①③④为真命题．
三、解答题
10．(文)椭圆的两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆过点M(1，－)．
(1)求椭圆方程；
(2)过点N(－，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于P、Q两点，A为椭圆的左顶点，试推断∠PAQ的大小是否为定值，并说明理由．
[解析]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意c＝，且椭圆过点M(1，－)，
∴⇒∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设直线PQ：x＝ty－，
由消去x得，(t2＋4)y2－ty－＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴y1y2＝－，y1＋y2＝，
又A(－2,0)，
∴·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋)(ty2＋)＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋＝0，
∴∠PAQ＝(定值)．
(理)(2022·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心C．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
[解析]　(1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋)2＝6，
圆心C(2，－)，半径r＝.
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则
所以
所以所求椭圆的方程是＋＝1.
(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，
∵|F2C|＝＝<.
∴F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线．
设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
点C(2，－)到直线l的距离为d＝＝，
化简得5k2＋4k－2＝0，解得k＝或k＝－.
故l的方程为x－5＋2＝0或x＋y＋2＝0.

一、选择题
11．(2021·荆州市质检)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为(　　)
A．　 B．　
C．2　 D．
[答案]　A
[解析]　由于e＝＝，所以a＝2c，由a2＝b2＋c2，得＝，x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝＝＝.
12．(文)(2022·陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连线AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　在△ABF中，由|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，得|BF|＝8，设椭圆的右焦点为E，由对称性知，|AE|＝8，且△AEF为直角三角形，|EF|＝10，∴2a＝|AF|＋|AE|＝14.∴e＝＝＝.
(理)(2022·包头三十三中期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A．(0，－1)　 B．(，1)
C．(0，)　 D．(－1,1)
[答案]　D
[解析]　依据正弦定理得＝，所以由＝可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，即|PF2|＝.由于a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<<a＋c，即1－<<1＋，所以1－e<<1＋e，即所以解得e>－1.又由于e<1，所以－1<e<1，即e∈(－1,1)，选D．
13．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1　 B．＋y2＝1
C．＋＝1　 D．x2＋＝1
[答案]　A
[解析]　抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，
∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
14．(文)(2022·湖南六校联考)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则(　　)
A．t＝2
B．t>2
C．t<2
D．t与2的大小关系不确定
[答案]　A
[解析]　如图，

P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.故选A．
(理)设F是椭圆＋＝1的左焦点，且椭圆上有2022个不同的点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2022)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2022|的长度成等差数列，若|FP1|＝2，|FP2022|＝8，则点P2021的横坐标为(　　)

A．　 B．　
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　∵椭圆＋＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2022|＝8＝a＋c，可知点P1为椭圆的左顶点，P2022为椭圆的右顶点，即x1＝－5，x2022＝5＝－5＋2021d，∴d＝，则数列{xi}是以－5为首项，为公差的等差数列，∴x2021＝－5＋2022×＝.
二、填空题
15．(文)假如AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为________．
[答案]　e2－1
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
由点差法，＋＝1，＋＝1，
作差得＝，
∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.
(理)以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e等于________．
[答案]　－1
[解析]　由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，

又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，
由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.
16．(2021·苏北四市联考)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.
[答案]　①④
[解析]　由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＋＝1，
①把y＝x＋1代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，
∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，
∴y＝x＋1是“A型直线”．
②把y＝2代入＋＝1，得＝－不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．
③把y＝－x＋3代入＋＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．
④把y＝－2x＋3代入＋＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直线”．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
[解析]　(1)由于椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，
所以c＝1，
将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，
即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)直线l的斜率明显存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由于直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0
整理得2k2－m2＋1＝0，①
由消去y并整理得，
k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
由于直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，
整理得km＝1，②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
18．(文)(2022·安徽“江南十校”联考)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为.
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)若直线l：x＝my＋q(m≠0)与椭圆Γ交于不同的两点A，B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A1，试求A1，F，B三点共线的充要条件．
[解析]　(1)设椭圆Γ的标准方程是＋＝1(a>b>0)．
由题意知a＝2c，bc＝，所以a＝2，b＝，
椭圆Γ的标准方程是＋＝1.
(2)联立⇒(3m2＋4)y2＋6mqy＋(3q2－12)＝0，
由Δ＝12[3m2q2－(3m2＋4)(q2－4)]＝48(3m2＋4－q2)>0，得3m2＋4－q2>0.①
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，－y1)，y1＋y2＝，y1y2＝，
由于F(1,0)，所以＝(x1－1，－y1)，＝(x2－1，y2)，
故A1，F，B三点共线，∴∥，
∴(x1－1)y2－(x2－1)(－y1)
＝(my1＋q－1)y2＋(my2＋q－1)y1
＝2my1y2＋(q－1)(y1＋y2)
＝2m·＋(q－1)·
＝＝0⇔q＝4(m≠0)，②
由①②知A1，F，B三点共线的充要条件是|m|>2，且q＝4.
(理)(2022·新课标全国Ⅰ理)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
[分析]　(1)由过A(0，－2)，F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由e＝＝，可求a，由b2＝a2－c2可求出b2，则椭圆E的方程可求．
(2)由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由S△OPQ＝|PQ|·d，可将S△OPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题．留意k应使得一元二次方程的判别式大于0.
[解析]　(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1中消去y得，
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>时，x1,2＝，
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
由于t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为
y＝x－2或y＝－x－2.