《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第二章-第9讲-函数与方程.docx
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1、第9讲函数与方程1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法做一做1若函数f(x)axb有一个零点是2,那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2B0,C0, D2,解析:选C.2a
2、b0,g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.2函数yf(x)在区间(2,4)上连续,验证f(2)f(4)0,取区间(2,4)的中点x13,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0所在的区间为_答案:(2,3) 1辨明三个易误点(1)函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)0的根,也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件,但不是必要条件(3)精确度不是近似值2会用推断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点:令f(x)0,假如能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数
3、在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,f(2)3120,f(4)log2420,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点答案C规律方法推断函数在某个区间上是否存在零点,要依据具体题目机敏处理当能直接求出零点时,就直接求出进行推断;当不能直接求出时,可依据零点存在性定理推断;当用零点存在性定理也无法推断时可画出图象推断1.(1)(2021广东揭阳联考)下列说法,正确的是()A对于函数f(x),由于f(1)f(1)0,所以函数f(x)在区间(1,2)内没有零点C对于函数f(x)x33x23x1,由于f(0)f(2)0,所以函数f(x)在区间(0,2)内必有零点
4、D对于函数f(x)x33x22x,由于f(1)f(3)0,所以函数f(x)在区间(1,3)内有唯一零点(2)(2021高考重庆卷)若abc,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a,b)和(b,c)内B(,a)和(a,b)内C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,)内解析:(1)选C.由函数f(x)的图象可知在区间(1,1)内无零点,故A错;令f(x)x2x0,可得x0或x1,故f(x)在区间(1,2)内有两个零点,B错;函数f(x)x33x23x1的图象在区间(0,2)内连续,且f(0)f(2)0,所以在区间(0,2)内必有零点,C正
5、确;由x33x22x0,解得x0,x1或x2,即函数f(x)在区间(1,3)内有三个零点,D错故选C.(2)选A.f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa),f(a)(ab)(ac),f(b)(bc)(ba),f(c)(ca)(cb),ab0,f(b)0,f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内_函数零点个数的问题(高频考点)_函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点,常与函数的图象与性质交汇,以选择题、填空题的形式毁灭,高考对函数零点的考查主要有以下两个命题角度:(1)推断函数零点个数;(2)由函数零点个数确定参数的值或取值范围(1)(2022高考湖北卷)已知f(
6、x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x23x,则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3 B3,1,1,3C2,1,3 D2,1,3(2)已知0a1,k0,函数f(x)若函数g(x)f(x)k有两个零点,则实数k的取值范围是_解析(1)令x0,则x0,所以f(x)(x)23xx23x.由于f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)f(x)所以当x0时,f(x)x23x.所以当x0时,g(x)x24x3.令g(x)0,即x24x30,解得x1或x3.当x0时,g(x)x24x3.令g(x)0,即x24x30,解得x20(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为2,1
7、,3(2) 函数g(x)f(x)k有两个零点,即f(x)k0有两个解,即yf(x)与yk的图象有两个交点分k0和k0作出函数f(x)的图象当0k1时,函数yf(x)与yk的图象有两个交点;当k1时,有一个交点;当k1或k0时,没有交点,故当0k1时满足题意 答案(1)D(2)0k1规律方法推断函数yf(x)零点个数的三种常用方法:(1)直接法令f(x)0,则方程实根的个数就是函数零点的个数(2)零点存在性定理法推断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数(3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数
8、问题(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)留意若已知f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个生疏的函数图象有几个交点问题,数形结合求解2.(1)已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.,0 B2,0C. D0(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,1时,f(x)x,则方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0 B2C4 D6解析:(1)选D.当x1时,由f(x)2x10,解得x0;当x1时,由f(x)1log2x0,解得x,又由于x1,所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.(2)选C.画出周期函数f(x)和ylog3|x|的图
9、象,如图所示,方程f(x)log3|x|的解的个数为4._与二次函数有关的零点分布_已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围(1)解(1)由条件,抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得故m的取值范围是. (2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示,列不等式组(2)即m1.故m的取值范围是.本例方程不变,问m为何实数时?(1)有一根大于2,另一根小于2?(2)在区间(1,3)内有且
10、只有一解?解:(1)令f(x)x22mx2m1为开口向上的二次函数,只需f(2)44m2m10,解得m,m的取值范围为(,)(2)f(x)为(1,3)内的连续函数,只需f(1)f(3)0或.即:(4m2)(8m10)0或,m0,即f(x)0有两个不相等的实数根,若实数a满足条件,则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0,a或a1.检验:(1)当f(1)0时,a1,所以f(x)x2x.令f(x)0,即x2x0,得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根,不合题意,故a1.(2)当f(3)0时,a,此时f(x)x2x.令f(x)0,即x2x0
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