2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：7.3空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

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课时提升作业(四十二)
一、选择题
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直
2.(2021·肇庆模拟)已知命题：①若点P不在平面α内，A，B，C三点都在平面α内，则P，A，B，C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3.（2021·梅州模拟）平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β垂直
②α，β至少有三个公共点
③α，β至少有一条公共直线
④α，β至多有一条公共直线
以上四个推断中不成立的个数为n，则n等于( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.如图，α∩β=l，A，B∈α,C∈β，且Cl，直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
（A）点A
（B）点B
（C）点C但不过点M
（D）点C和点M
5.给出下列命题：
①没有公共点的两条直线平行；
②相互垂直的两条直线是相交直线；
③既不平行也不相交的直线是异面直线；
④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.
其中正确命题的个数是( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6.已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
（A）AB∥CD
（B）AB与CD异面
（C）AB与CD相交
（D）AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
7.设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列命题，其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α；
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α；
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④
8.（力气挑战题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( )
（A）不存在 （B）有且只有两条
（C）有且只有三条 （D）有很多条
二、填空题
9.(2021·茂名模拟)平面α,β相交，在α,β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_________个平面.
10.已知线段AB，CD分别在两条异面直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，则MN_________（AC+BD）（填“＞”“＜”或“=”）.
11.对于四周体ABCD，下列命题正确的是_________（写出全部正确命题的编号）.
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四周体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.
12.（2021·揭阳模拟）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是__________.

三、解答题
13.如图，在四周体ABCD中作截面PQR，若PQ,CB的延长线交于M，RQ,DB的延长线交于N，RP,DC的延长线交于K，求证：M,N,K三点共线.
14.一个多面体的直观图及三视图如图所示，(其中M，N，P，Q分别是FC，AF，DC，AD的中点)
(1)直线DE与直线BF的位置关系是什么，夹角大小为多少？
(2)推断并证明直线MN与直线PQ的位置关系.
(3)求三棱锥D-ABF的体积.

15.(2021·东莞模拟)在正方体AC1中，E,F分别为D1C1, B1C1的中点，AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图.
(1)求证:D,B,F,E四点共面.
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.

答案解析
1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
2.【解析】选A.当A，B，C三点都在平面α内，且三点共线时，P，A，B，C四点在同一个平面内，故①错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故②错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故③错误.
3.【解析】选C.由条件知当平面α，β的公共点多于两个时，若全部公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合.故①不愿定成立；②成立；③成立；④不成立.
4.【解析】选D.∵AB⊂γ，M∈AB,∴M∈γ.
又α∩β=l，M∈l，
∴M∈β.
依据公理3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
5.【解析】选B.没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；相互垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③④正确，故选B.
6.【解析】选D.若三条线段共面，假如AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.
7.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,
∴①错;当a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴Pa,

∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不擅长举出反例是致错的主要缘由.
8.【思路点拨】以A1D1，EF，CD为棱构造平行六面体解决.
【解析】选D.先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a，b，c，与直线a，b，c都相交的直线有很多条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a，b，c的相对位置如何，总可以构造一个平行六面体ABCD-A1B1C1D1，使直线AB，B1C1，DD1分别作为直线a，b，c，在棱DD1的延长线上任取一点M，由点M与直线a确定一个平面α，平面α与直线B1C1交于点P，与直线A1D1交于点Q，则PQ在平面α内，直线PM不与a平行，设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a，b，c相交.由于点M的取法有无穷多种，因此在空间同时与直线a，b，c相交的直线有很多条.依题意，不难得知题中的直线A1D1，EF，CD是两两异面的三条直线，由以上结论可知，在空间与直线A1D1，EF，CD都相交的直线有很多条，选D.
【变式备选】如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
(A)A，M，O三点共线
(B)A，M，O，A1不共面
(C)A，M，C，O不共面
(D)B，B1，O，M共面
【解析】选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1,C1,A,C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
∴A，M，O三点共线.
9.【解析】分类，假如这四点在同一平面内，那么确定一个平面，假如这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个.
答案：1或4
10.【解析】如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AC，BD的关系，必需将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G，再连接MG，NG，在△ABD中，M，G分别是线段AB，AD的中点，则MG∥BD，且同理，在△ADC中，NG∥AC，且又依据三角形的三边关系知，MN＜MG+NG，即（AC+BD）.
答案：＜
11.【解析】由四周体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；

由顶点A作四周体的高，当四周体ABCD的对棱相互垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA=DB，CA=CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确.
答案：①④
12.【解析】如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG=C1C；EG∥BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角（或补角），在Rt△EFG中，
答案：
【变式备选】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，点E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为__________.

【解析】取D1C1的中点G，连接OF，OG，GE.
由于点O是底面ABCD的中心，F为AD的中点，
所以OFCD，
D1GCD，即OFD1G.
所以四边形OGD1F为平行四边形.
所以D1F∥GO，即OE与FD1所成角也就是OE与OG所成角.
在△OGE中，
所以GE2+OE2=OG2，即△GOE为直角三角形，
所以
异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.
答案：
13.【证明】∵M∈PQ，
直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD，
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，
即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.
同理可证：N，K也在l上，∴M，N，K三点共线.
14.【解析】（1）由三视图分析得到原图形为两个侧面垂直的直三棱柱的平放图形，由图可知直线DE与直线BF的位置关系是异面直线，其夹角为∠BFC,大小为45°.
（2）直线MN与直线PQ的位置关系是平行.
证明如下：连接AC,由于M，N，P，Q分别是FC，AF，DC，AD的中点，所以PQ∥AC，MN∥AC，所以MN∥PQ.
(3)由三视图可知△ABF是等腰直角三角形，AB=BF=2，且三棱锥D-ABF的高为AD=2,
所以
15.【解析】（1）连接B1D1.∵E,F分别是C1D1,B1C1的中点,∴EF∥B1D1,
又∵B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD共面.
故D,B,F,E四点共面(设为α).
(2)由于AA1∥CC1,
所以A1,A,C,C1四点共面(设为β).
P∈BD,而BD⊂α,故P∈α.
又P∈AC,而AC⊂β,
所以P∈β,所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.
又由于A1C⊂β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.
连结A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点如图所示.
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