【2021届备考】2021全国名校数学试题分类解析汇编(1月第三期)：G单元立体几何.docx

G单元立体几何
名目
G单元立体几何 1
G1 空间几何体的结构 1
G2 空间几何体的三视图和直观图 2
G3 平面的基本性质、空间两条直线 18
G4 空间中的平行关系 18
G5 空间中的垂直关系 30
G6 三垂线定理 60
G7 棱柱与棱锥 60
G8 多面体与球 62
G9　空间向量及运算 67
G10 空间向量解决线面位置关系 68
G11 空间角与距离的求法 72
G12 单元综合 90

G1空间几何体的结构

【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）】6.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱BC上的一点，则三棱锥的体积等于

A. B. C. D.
【学问点】锥体的体积求法. G1
【答案】【解析】D解析：,
故选D.
【思路点拨】由等体积转化法求解.

【数学卷·2021届江苏省盐城中学高三1月月考（202101）】6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．
【学问点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积.G1
【答案】【解析】解析：依据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2
∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．
故答案为：2π．
【思路点拨】依据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积V．

G2空间几何体的三视图和直观图

【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
第6题图

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】A
解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为，侧面面积为，所以其表面积为，则选A.
【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.

【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是
俯视图
正视图
侧视图
3
6
4
2

A．24+和40B．24+和72 C．64+和40 D．50+和72
【学问点】三视图G2
【答案】【解析】C解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为，表面积为：所以选C.
【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积以及表面积.

【数学（理）卷·2021届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（202101）】4．右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积
为8的矩形, 则该几何体的表面积是（）
A．2 0+8 B．2 4+8
C．8 D．16

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】A
【解析】此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，
直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，
故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．
【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．

【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）】9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于
A. B. C. D.

【学问点】几何体的三视图的应用. G2
【答案】【解析】C解析：由三视图可知此几何体的直观图如下：

所以其最长的棱长DB=，故选C.
【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的直观图及相关数据，从而该多面体最长的棱长.

【数学（文）卷·2021届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（202101）word版】7若某多面体的三视图如右图所示，则此外接球的表面积是
A．6 B．
C．2 D．3

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】D
【解析】三视图复原几何体如图：

是正方体去掉一个角后的几何体，
它的外接球就是开放为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，
体对角线的长度为：，
所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3π．
【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积．

【数学（文）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为▲．
第15题图

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】
解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为，侧面面积为，所以其表面积为.
【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.

【数学（文）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．12
B．24
C．40
D．72
俯视图
正视图
侧视图
3
6
4
2

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】C解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为.所以选C.
【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积.

【数学（文）卷·2021届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（202101）】4．右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积
为8的矩形, 则该几何体的表面积是（）
A．2 0+8 B．2 4+8
C．8 D．16

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】A
【解析】此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，
直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，
故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．
【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．

12. 【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .

【学问点】三视图的应用. G2
【答案】【解析】3解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于.
【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积.

13. 【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .

【学问点】三视图的应用. G2
【答案】【解析】3解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于.
【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积.

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．1

【学问点】三视图 G2
【答案】C【解析】解析：边长为1的正三角形的高为，即侧视图的底面边长为，而侧视图的高，即为正视图的高，所以侧面积为.故选择C.
【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案．

【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．1

【学问点】三视图 G2
【答案】C【解析】解析：边长为1的正三角形的高为，即侧视图的底面边长为，而侧视图的高，即为正视图的高，所以侧面积为.故选择C.
【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案．

【数学理卷·2021届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（202101）word版】6．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是
A．6 B． C．2 D．3

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】D
【解析】三视图复原几何体如图：

是正方体去掉一个角后的几何体，
它的外接球就是开放为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，
体对角线的长度为：，
所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3π．
【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积．

【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ）
A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】D
解析：由三视图可知几何体为一个长方体截取一个角后剩余的几何体，所以其体积为
6×3×6-=98cm，所以选D.
.
【思路点拨】由三视图求体积，通常先推断结合体特征再计算.

【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ）
A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】D
解析：由三视图可知几何体为一个长方体截取一个角后剩余的几何体，所以其体积为
6×3×6-=98cm，所以选D.
.
【思路点拨】由三视图求体积，通常先推断结合体特征再计算.

【数学理卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A.B. C. D.60

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】A解析：由已知中的三视图，我们可以推断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，
故，故该几何体的体积，故选A.
【思路点拨】由已知中的三视图，可以推断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.

【数学文卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是
A．108 cmB．100 cm3C．92 cm3 D．84 cm3

【学问点】三视图 G2
【答案】B【解析】解析：如图所示，原几何体为：

一个长宽高分别为的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积
.故选择B.
【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式就看得出．

【数学文卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】14．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图
中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，
则该器皿的表面积是

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】
解析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积和半球的表面积，，故
【思路点拨】由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征.

【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2021届山西省康杰中学等四校高三其次次联考（202101）】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
（第9题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1

【学问点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】C
【解析】依据三视图还原几何体S=++++=。
【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A.B. C. D.

【学问点】三视图G2
【答案】【解析】A解析：由已知中的三视图，我们可以推断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，
故，故该几何体的体积，故选A.
【思路点拨】由已知中的三视图，可以推断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.

G3平面的基本性质、空间两条直线

G4空间中的平行关系

【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
第18题图

【学问点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）
解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．
是正方形，∴是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．
∴．………………………2分
又平面，平面，
∴平面． ………………………4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴平面，且平面∴
又∵是的中点，∴
∴平面平面∴ ……………6分
由已知 ∴平面
又平面∴平面平面……………………8分
（Ⅲ）取中点，则．作于，连结．
∵底面，∴底面．
∴为在平面内的射影．
∵,∴．
∴为二面角的平面角．………………………10分
设，在中，，
∴．
∴二面角的余弦的大小为．………………………12分
方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

由,可设，则
．
， ，
,即有…6分
又且．
平面． 又平面
∴平面⊥平面． ………………………8分
（Ⅲ） 底面，∴是平面的一个法向量，．
设平面的法向量为,
, 则即, ∴
令,则．……………………10分
, 由作图可知二面角为锐二面角
∴二面角的余弦值为．………………………12分
【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.

【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）】20.（12分）
如图平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE中点.
(1) 证明：AE∥平面BDF；
（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE? 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【学问点】空间点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5
【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.

在△ACE中，∵四边形ABCD 是矩形，∴O为AC中点，又F为EC中点，
∴OF∥AE，
又平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.
（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，以下赐予证明.
取BE中点H，连接DP，PH，CH，
∵P为AE中点，H为BE中点，
∴PH∥AB，又AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴P、H、C、D四点共面.
∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD平面BCE=BC，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE ，
∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE中点，∴CH⊥BE
∵CHCD=C，∴BE⊥平面DPHC，
又PM平面DPHC，∴BH⊥PM，即PM⊥BE.
【思路点拨】(1)取BD中点O,证明OF∥AE即可；（2）要使PM⊥BE，只需BE⊥平面DCP，
取BE中点H，连接CH，由于BC=CE，所以BE⊥CH，有BE⊥平面BCH，则平面BCH于线段AE的交点为点P，易得P为线段AE中点.

【数学（文）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】20．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：直线平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．
第20题图

【学问点】平行关系垂直关系直线与平面所成角G4 G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）
解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．
是正方形，∴是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．
∴．………………………2分
又∵平面，平面，
∴平面．………………………4分

（Ⅱ）证明：由条件有
∴平面，∴……………………6分
又∵是的中点，∴
∴平面∴
由已知，∴平面…………………8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，则直线在面内的射影为，
∴为所求的直线与面所成的角． …………………10分
又，∴在中∴
又
由可得∴．∴
…12分
∴直线与平面所成角的余弦值为．…………13分
【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求直线与平面所成角时可找出其对应的平面角再进行解答.

【数学（文）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】3．若，是两条不重合的空间直线，是平面，则下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【学问点】平行关系垂直关系G4 G5
【答案】【解析】C
解析：A选项，直线m还可能在平面α内，所以错误；B选项，直线m还可能在平面α内，所以错误；C选项由线面垂直的性质可知正确，所以应选C.
【思路点拨】推断垂直关系与平行关系时，能直接利用定理推断的可用定理推断，不能直接利用定理推断的可用反例法排解.

【数学（文）卷·2021届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（202101）】19． ( 1 2分) 如右图, 已知三棱柱A B C—A1B1C1。
(Ⅰ) 若 M、 N 分别是A B, A1C的中点, 求证: MN∥平面BCC1B1。
(Ⅱ) 若三棱柱A B C-A1B1C1的各棱长均为2, ∠B1B A=∠B1B C=
6 0 °, P 为线段B1B 上的动点, 当P A++P C 最小时, 求证: B1B⊥平面APC。

【学问点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5
【答案】（1）略(Ⅱ)略
【解析】（1）证明：连接,则AN=NC,由于AM=MB,所以MN平行
,所以MN∥平面BCC1B1。
(Ⅱ)将平面A B A1开放到与平面BCC1共面，A到的位置，此时为菱形，可知PA+PC=P+PC,C即为PA+PC的最小值，此时,所以
,,,所以
【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，再依据最小值证明结果。

【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；
（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .

【学问点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11
【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.
解析：(1)∵DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴DE⊥AC.
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，
又DEBD=D，∴AC⊥平面BDE,
∵BE平面BDE，∴AC⊥BE
（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，

设平面BCE的法向量为，则
取，则
设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.
【思路点拨】（1）证AC⊥平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解.

【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】6、
（ ） .

【学问点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5
【答案】【解析】A解析：对于选项A：设过直线m的平面交平面于n，由于,
所以m∥n, 又，所以，所以，故选A.
【思路点拨】依据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确.

【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】17. （本小题满分12分）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.（1）求证： ；
（2）若，上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值 .

【学问点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11
【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）.
解析：(1)∵DE⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴DE⊥AC.
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，
又DEBD=D，∴AC⊥平面BDE,
∵BE平面BDE，∴AC⊥BE
（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，

设平面BCE的法向量为，则
取，则
设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.
【思路点拨】（1）证AC⊥平面BDE即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解.

【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】6、
（ ） .

【学问点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5
【答案】【解析】A解析：对于选项A：设过直线m的平面交平面于n，由于,
所以m∥n, 又，所以，所以，故选A.
【思路点拨】依据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确.

【数学文卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】13．设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：
①若ba，c∥a，则b∥c；
②若ba，b∥c，则c∥a；
③若c∥，⊥lp，则c⊥;
④若c∥a，c⊥，则a⊥．
其中正确的命题是．（写出全部正确命题的序号）
【学问点】直线与平面的位置关系 G4 G5
【答案】④【解析】解析：①选项不正确，由于线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，由于与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，由于两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，由于线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④..
【思路点拨】由题设条件，对四个选项逐一推断即可，①选项用线线平行的条件进行推断；②选项用线面平行的条件推断；③选项用线面垂直的条件进行推断；④选项用面面垂直的条件进行推断.

【数学文卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】19．（本小题满分12分）
如图，为圆的直径，点在圆上，且∥，矩形所在的平面和圆所在的平面相互垂直，且 ,
（1）求证：平面⊥平面．
（2）在线段上是否存在一点，使得∥平面，并说明理由．

【学问点】面面垂直线面平行G5 G4
【答案】【解析】(1)略（2）CF中点M
解析: (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，
∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（6分）
（2）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN
则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）
∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．（12分）

【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需线面垂直（2）要证线面平行，可通过线线平行，也可通过面面平行去证.

【数学卷·2021届江苏省盐城中学高三1月月考（202101）】15.（本小题14分）
已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：∥平面．

【学问点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．G4 G5
【答案】【解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析.
解析：（Ⅰ）平面，平面，
，又是菱形，， 又平面，，平面，又平面，
．
（Ⅱ）取线段的中点，连结，
则∥，且，又∥，且，
∥，，四边形是平行四边形，
∥，
又平面，平面，
∥平面．
【思路点拨】（Ⅰ）由平面，可得，又由是菱形，可得，进而由线面垂直的判定定理得到⊥平面，进而；（Ⅱ）取线段PD的中点G，连结EG，FG，由中位线定理可得∥，且，又由∥，且，进而四边形BEGF是平行四边形，进而∥EG，再由线面平行的判定定理得到∥平面。

G5空间中的垂直关系

【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
第18题图

【学问点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）
解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．
是正方形，∴是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．
∴．………………………2分
又平面，平面，
∴平面． ………………………4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴平面，且平面∴
又∵是的中点，∴
∴平面平面∴ ……………6分
由已知 ∴平面
又平面∴平面平面……………………8分
（Ⅲ）取中点，则．作于，连结．
∵底面，∴底面．
∴为在平面内的射影．
∵,∴．
∴为二面角的平面角．………………………10分
设，在中，，
∴．
∴二面角的余弦的大小为．………………………12分
方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

由,可设，则
．
， ，
,即有…6分
又且．
平面． 又平面
∴平面⊥平面． ………………………8分
（Ⅲ） 底面，∴是平面的一个法向量，．
设平面的法向量为,
, 则即, ∴
令,则．……………………10分
, 由作图可知二面角为锐二面角
∴二面角的余弦值为．………………………12分
【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.

【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】19．（本小题满分12分）
如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.

A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1

（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；
（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值.
【学问点】线线垂直二面角G5 G10
【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）.
【解析】解析：设.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：
，，，，,，,,
,
.C
A
B
D
E
F
A1
B1
C1
D1
x
y
z

（Ⅰ）由于，，
所以.
所以.………………………………………（4分）
（Ⅱ）由于，
所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.
由于，
所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时坐标分别为,.
设平面的法向量为，
则得
取，得.明显底面的法向量为.
设二面角的平面角为，由题意知为锐角.
由于，所以，于是.
所以，即二面角的正切值为.…………………………（12分）
【思路点拨】以D为原点建立空间直角坐标系，设，求得两向量的数量积为零，所以证得垂直；由于三棱锥的高为是定值，所以其面积取决于，而，故当时，面积最大，求得坐标，利用二面角公式求得夹角的余弦值，再利用同角基本关系是求得正切值.

【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）】20.（12分）
如图平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE中点.
(2) 证明：AE∥平面BDF；
（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE? 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【学问点】空间点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5
【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.

在△ACE中，∵四边形ABCD 是矩形，∴O为AC中点，又F为EC中点，
∴OF∥AE，
又平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.
（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，以下赐予证明.
取BE中点H，连接DP，PH，CH