高中数学(北师大版)必修五教案：2.1-余弦定理-参考教案2.docx

§1 余弦定理
教学目的：要求同学把握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形
教学重点：余弦定理的证明及其基本应用
教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围
教学过程：
问题提出：
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？
分析理解：
1．余弦定理的向量证明：
设△ABC三边长分别为a, b, c =+
•=(+)•(+)=2+2•+2
=

即：
同理可得：
2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：
1° 生疏定理的结构，留意“平方”“夹角”“余弦”等
2° 知三求一
3° 当夹角为90°时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
4° 变形：
余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边
例1、如图，有两条直线和相交成，交点是，甲、乙两人同时从点分别沿方向动身，速度分别是，3小时后两人相距多远（结果精确到）
分析：经过3时后，甲到达点，，乙到达点，
问题转化为在中，已知，，，求的长
解：经过3时后，甲到达点，，乙到达点，
依余弦定理有

答：3时后两人相距约为
例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数，，，……的图形，试计算图中线段的长度及的大小（长度精确到，角度精确到）
解：在中，
由于

所以
在中，
由于
所以
思考沟通：
你还能用其他方法求线段的长度及的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数学问加以解决）
课堂小结：余弦定理及其应用
课堂作业：
1、若△的三个内角满足，则△
（A）确定是锐角三角形. （B）确定是直角三角形.
（C）确定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
2、（2010江西理数）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ D ）
A. B. C. D.
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：商定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，
解得
解法2：坐标化。商定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),
C（0,3）利用向量的夹角公式得，
解得。
3、（2010天津理数）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（ A ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得，
所以cosA==，所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
作业：