2022届数学一轮(理科)人教A版课时作业-8-7立体几何中的向量方法(二)——求空间角.docx

第7讲　立体几何中的向量方法（二）——求空间角
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·广东卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是
(　　)
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
解析　 经检验，选项B中向量(1，－1，0)与向量a＝(1，0，－1)
的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°，故选B.
答案　B
2．(2022·新课标全国Ⅱ卷)在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
(　　)
A. B. C. D.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，
设BC＝2，则B(0，2，0)，
A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.
答案　C

3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝1，N为B1B的中点，则||为 (　　)
A.a B.a C.a D.a
解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且＝1，
(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝＝ a.
答案　A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，
E，D(0，1，0)，
∴＝(0，1，－1)，＝，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
所以有
即解得∴n1＝(1，2，2)．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
∴ cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案　B
5．在四周体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为 (　　)
A. B.a C. D.a
解析　依据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0，0，，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)．
过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．
又∵△ABC为正三角形，
∴H为△ABC的重心，
可得H点的坐标为.
∴PH＝＝a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案　B
二、填空题
6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．
解析　 cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.
∴两平面所成二面角的大小为或.
答案　或
7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________．
解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案　
8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________．
解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．
设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，
则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，
∴·＝2，
∴cos〈，〉＝＝，
∴EF和BC1所成的角为60°.
答案　60°
三、解答题
9．(2022·浙江卷)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B－AD－E的大小．
(1)证明　在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，DC∩AC＝C，从而DE⊥平面ACD.
(2)解　以D为原点，分别以射线DE，DC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0)．
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，可算得＝(0，－2，－)，＝(1，－2，－)，＝(1，1，0)，
由即
可取m＝(0，1，－)．
由即
可取n＝(1，－1，)．
于是|cos〈m，n〉|＝＝＝，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B－AD－E的大小是.
10．(2021·湖南卷)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
(1)证明　易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．

从而＝(－t，3，－3)，＝(t，1，0)，＝(－t，3，0)．
由于AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1，0)．
由于·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)解　由(1)知，＝(0，3，3)，＝(，1，0)，＝(0，1，0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即令x＝1，
则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，
则 sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，
则A，B，
D.∴＝，＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，
∴ cos〈n，〉＝，∴ sin〈n，〉＝.
答案　C
12．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是 (　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析　如图，以O为原点建立空间直角坐标系
O－xyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P.
则＝(2a，0，0)，＝，
＝(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，
设n＝(x，y，z)，则解得可取n＝(0，1，1)，
则 cos〈，n〉＝＝＝，
∴〈，n〉＝60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案　A
13．(2021·南京一模)P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，假如∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为__________．
解析　不妨设PM＝ a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，
∵∠EPM＝∠FPN＝45°，
∴PE＝a，PF＝b，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝abcos 60°－a×bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b
＝－－＋＝0.
∴⊥，∴二面角α－AB－β的大小为90°.
答案　90°
14．(2022·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
(1)证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得B(1，0，0)，
C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
由E为棱PC的中点，
得E(1，1，1)．
向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故·＝0.
所以BE⊥DC.
(2)解　向量＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)，设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即不妨令y＝1，
可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量，于是有
cos〈n，〉＝＝＝.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)解　向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设 ＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由 BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，
所以其余弦值为.