2022高考总复习(人教A版)高中数学-专题讲-座一-范围与最值问题.docx
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1、专题讲座一范围与最值问题最值、范围问题是历年高考的热点问题,经久不衰最值与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线中考查解题的关键是不等关系的建立,其途径很多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数性质法,数形结合法等等下面介绍一下函数与导数中的最值与范围问题函数的最值函数的最值问题是其他最值问题的基础之一,很多最值问题最终总是转化为函数(特殊是二次函数)的最值问题求函数最值的方法有:配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等(1)对a,bR,记maxa,b函数f(x)max|x1|,|x2|(xR)的最小值是_;(2)已知函数y(exa)2(exa)2
2、(aR,a0),则函数y的最小值是_解析 (1)由|x1|x2|,得(x1)2(x2)2,解得x.所以f(x)其图象如图所示由图形,易知当x时,函数有最小值,所以f(x)minf. (2)y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex,则f(t)t22at2a22.由于t2,所以f(t)t22at2a22(ta)2a22的定义域为2,)由于抛物线yf(t)的对称轴为ta,所以当a2且a0时,yminf(2)2(a1)2;当a2时,yminf(a)a22.又f(t)的定义域为2,),故y的最小值是a22.答案(1)(2)a22规律方法第(1)题是将问题转化为分段函
3、数的最值问题后,再利用数形结合的方法求解函数最值问题,其关键是先画出图形,从而借助图形直观地解决问题第(2)题首先利用换元法转化为二次函数,再利用二次函数的性质求最值,求解中要特殊留意自变量的取值范围实际问题中的最值在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题,可考虑建立目标函数,转化为求函数的最值(2021江苏徐州检测)现有一张长为80 cm,宽为60 cm的长方形铁皮ABCD,预备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失,如图,若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底
4、面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3)(1)求出x与y的关系式; (2)求该铁皮盒体积V的最大值解(1)由题意得x24xy4 800,即y,0x60.(2)铁皮盒体积V(x)x2yx2x31 200x,V(x)x21 200.令V(x)0,得x40,由于x(0,40)时,V(x)0,V(x)是增函数;x(40,60)时,V(x)0,V(x)是减函数,所以V(x)x31 200x在x40时取得极大值,也是最大值,且最大值为32 000 cm3.所以该铁皮盒体积V的最大值是32 000 cm3.规律方法本题是求几何体体积的最值,求解思路是构建目标函数,再利用导数争辩函数的最值参数范
5、围的确定函数的最值多与参数范围结合命题,求最值时,多利用分类争辩思想,由最值问题求参数可转化为恒成立问题求解(2021陕西西安模拟)已知函数f(x)(a0,aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a1时,若对任意x1,x23,),有f(x1)f(x2)m成立,求实数m的最小值解f(x).令f(x)0,解得xa或x3a.(1)当a0时,f(x),f(x)随着x的变化如下表:x(,3a)3a(3a,a)a(a,)f(x)00f(x)微小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(3a,a),函数f(x)的单调递减区间是(,3a),(a,)当a1时,f(x)0,所以f(x)在3,)上的最小值为f(3
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