正比例和反比例的意义知识点讲课教案.doc

正比例和反比例的意义知识点

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正比例和反比例的意义
知识点一：正比例和反比例的意义
（1）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么正比例关系可以写成：

例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量
＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
（2）反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么反比例关系可以写成：
×=（一定）
例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量
知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？
（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

正比例
反比例
相同点

不
同
点

知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？
（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。

（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。

知识点四：正比例和反比例的判断
（1）先判断两种量和是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合，则和成正比例；若符合×=（一定），则和成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】
题型一：根据图标填写信息
例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
重量（千克）
1
2
3
4
5
6
…
总价（元）
1.9
3.8
5.7
7.6
9.5
11.4
…
（1）( )和( )是两种相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化。
（2）与总价7.6元相对应的重量是（ ）千克；与6千克相对应的总价是（ ）元。
（3）总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是（ ）。
（4）因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成（ ）的量。
题型二：根据关系式正比例反比例的判断
例2：判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。
（2）铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。
（3）铺地面积一定，方砖的边长和所需块数。
（1）生产总时间一定，生产一个零件的时间和个数。
（2）生产一个零件的时间一定，生产零件的总时间和个数。
（1）圆的周长和半径。
（2）圆的周长一定，圆周率和直径。
（3）圆的面积和半径的平方。
例3：判断下面各题中的两种量成不成比例（在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”）。
（1）正方形的面积和边长。 （ ）
（2）比的前项一定，比的后项和比值。 （ ）
（3）人的体重和身高。 （ ）
（4）每本书的单价一定，买书的本数与总价。 （ ）
（5）出粉率一定，小麦的重量和出粉重量。 （ ）
（6）正方体的体积和棱长。 （ ）
（7）产品合格率一定，产品合格数和产品总数。 （ ）
（8）工作时间一定，工作总量和工作效率。 （ ）
例4 ：判断下面每题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。
（1）每公顷施肥量一定，施肥总量与公顷数。

（2）每台织布机的每小时织布的米数一定，织布的总米数和所用的小时数。

（3）汽车行1千米的耗油量一定，汽车所行路程和总耗油量。

（4）同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。

例题9：判断下列各题的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？
（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。（ ）
（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。（ ）
（3）路程一定，已走路程和剩下路程。 （ ）
（4）圆的半径和面积。（ ）
（5）平行四边形的底和面积。（ ）
（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。（ ）
（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。（ ）
（8）a·b＝c，c一定，a和b。（ ）
（9）分数值一定，分子和分母。（ ）
（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。（ ）
【巩固练习】
（1）比例尺一定，图上距离与实际距离成（ ）比例。
（2）圆的半径和面积（ ）比例。
（3）三角形的高一定，它的面积和底成（ ）比例。
（4）订阅《中国少年报》的钱数和份数成（ ）比例。
（5）圆的直径和周长成（ ）比例。
（6）差一定，被减数和减数（ ）比例。
（7）圆锥的高一定，底面积和它的体积（ ）比例。
(1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成(　　)比例。
(2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成(　　)比例。
(3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成(　　)比例。
(4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成(　　)比例。
(5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成(　　)比例。
A．成正比例　B．成反比例　C．不成比例(1)平行四边形的底一定，高和面积。(　　)
(2)积一定，一个因数与另一个数。(　　)
(3)一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。(　　)
(4)工作效率一定，工作总量和工作时间。(　　)
下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由。
1、每个小朋友分的饼干数一定，饼干数的总块数和分的人数。
2、每箱梨的重量一定，箱数和总重量。
3、正方形的周长和边长。
4、正方形的面积和边长。
5、读一本书，每天读的页数和读的天数。
6、一箱饮料的数量一定，卖出的和剩下的。
7、三角形的底一定，它的面积和高。
8、每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数。
9、一个人的年龄和体重。
10、长方形的周长和宽。
11、长方形的长一定，面积与宽。
12、三角形的高一定，面积与底。
13、圆的面积与半径。
14、正方形的周长和边长。
15、一个班级的男生人数和女生人数。
16、每箱苹果个数一定，运来苹果的箱数与苹果总个数。
17房屋地面的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。
18、每块地砖的面积一定，铺地面积与所需地砖的块数。
19、分子一定，分母和分数值。
20、三角形的高一定，它的底和面积。
21、梯形的上底和下底一定，面积和高。
22、圆的周长和直径。
23、车轮的直径一定，所行驶的路程和转数。
24、被乘数一定，乘数和积。
25、积一定，一个因数和另一个因数。
26、除数一定，被除数和商。
27、从甲地到乙地，行驶的速度和所用的时间。
28、每台电视机的价格一定，购买电视机的台数和钱数。
29、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高。
30、小明的身高和他的体重。
10判断下面的两种量成不成比例？成正比例画“○”，成反比例画“△”，不成比例画“×”。
(1)每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。(　　)
(2)一个人的年龄和他的体重。(　　)
(3)生产总量一定，每天的生产量和生产天数。(　　)
(4)正方形的边长和面积。(　　)
(5)分母一定，分子和分数值。(　　)
11填空：
(1)物品的总价一定，它的单价和数量成(　　)比例。
(2)每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成(　　)比例。
(3)要走的路程一定，已行路程与未行的路程(　　)比例。
(4)比的后项一定，前项和比值成(　　)比例。
(5)甲数是乙数的80%，甲数和乙数成(　　)比例。
(6)圆的半径和它的周长成(　　)比例。
14判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。(　　)
(2)出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。(　　)
(3)汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。(　　)
(4)三角形的高一定，它的面积和底不成比例。(　　)
(5)被减数一定，减数和差成反比例。(　　)
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。
题中（ ）量一定，关系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（ ）量一定，关系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
题型三：根据图表成正反比例判断
例：李平和同学星期六骑车去郊游，下图表示她骑车的路程和时间的关系。

(1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？

(2)利用图估计，李平20分钟大约行了多少千米？行20千米大约用了多少分钟？(答案保留整数)
例：根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。
(1)
面粉的袋数(袋)
1
2
3
4
面粉的总重量(千克)
25
50
75
100

(2)
钢铁的重量(千克)
7.8
15.6
23.4
31.2
钢铁的体积(m3)
1
2
3
4

【巩固练习】
（4）糖果厂包装一批糖果，每袋糖果的粒数和装的袋数如下表：
每袋的粒数
12
15
20
24
…
装的袋数
50
40
30
25
…
每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？为什么？

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……

表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……

表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……

题型四：根据比例关系填表
例4：（1）根据，填写下表。

20

35

120

2

8

（2）下表中和两个量成反比例，请把表格填写完整

2

40

5

0.1

（3）下表中和两个量相关联的量，观察规律，请把表格填写完整

0.5
0.6

1

1.5

2.7
3

【巩固练习】
（1）如果x和y成正比例，并且＝20。请完成下表。
y
20

80

130

1 000
850
x

1.5

8

0.4
10

在下图中，描出上题中y与相对应的x的点(注意找几个关键点)，然后连成线。

(21)已知 x和y成正比例关系，请完成下列表格。
x

60
8

y
6
4

2.4

(3)已知x和y成反比例关系，请完成下表。
x
0.07
1.4
0.2

y

14
10

（4）小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。
小英的年龄/岁
6
7
8
9
10
11
妈妈的年龄/岁
30
31

母女的年龄成正比例吗？为什么？
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5

……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
吨数/吨
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？
（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？

题型五：比例的扩大缩小
例5 ：选择。（把正确答案的序号填在括号里）
（1）如果两种相关联的量成正比例，一种量扩大几倍，另一种量就（ ）相同的倍数。
①扩大 ②缩小 ③增加 ④减少（2）如果两种相关联的量成反比例，一种量扩大几倍，另一种量就（ ）相同的倍数。
①扩大 ②缩小 ③增加 ④减少
（3）和一定，一个加数和另一个加数（ ）。
①成正比例 ②成反比例 ③不成比例
（4）正方形的面积和边长（ ）。
①成正比例 ②成反比例 ③不成比例
（5）甲、乙两车行同一段路程，甲车需3小时，乙车需5小时，甲、乙两车速度的比是（ ）。
①11∶6 ②3∶5 ③5∶3
题型六：根据关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例或反比例。
例：根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。
(1)总价＝单价×数量。
(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
(2)长方形面积＝底×高。
(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
(3)xy＝z。
(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
(4)铺地面积＝方砖面积×方砖块数。
(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
(5)路程＝速度×时间。
(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
已知ab＝c，a、b都不为0。先写两个正比例关系式，再填空。
______(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
______(　　)一定，(　　)和(　　)成正比例。
(1)速度×时间＝路程。
速度一定，(　　)和(　　)成(　　)比例。
时间一定，(　　)和(　　)成(　　)比例。
路程一定，(　　)和(　　)成(　　)比例。

(2)单价×数量＝总价。
单价一定，(　　)和(　　)成(　　)比例。
数量一定，(　　)和(　　)成(　　)比例。
总价一定，(　　)和(　　)成(　　)比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例；
当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；
6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。
( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；

拓展
例：若x和y是两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例
（1）若5x=4y，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。
（2）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。
（3）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。
（4）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。
（5）若，（x，y均不为0），则x和y成（ ）比例。
【巩固练习】
1.三角形的高一定，它的面积和底（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
2.甲数和乙数互为倒数，则甲数和乙数（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
3. 是的，那么与（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
例：如果＝1(b≠0，c≠0)，那么，当a一定时，b和c成(　　)比例；当b一定时，a和c成(　　)比例；当c一定时，a和b成(　　)比例。

作业：
一、填空
1、 判断分子、分母、分数值一种量一定，另外两种量成什么比例。
（1） 分子一定，分母和分数值成_________比例。
（2） 分母一定，分子和分数值成_________比例。
（3） 分数值一定，分子和分母成_________比例。
2、 已知=k，当____一定时，另外两种量成反比例。
3、 =_____，当_____一定时，_____和______成正比例。
当_____一定时，_____和______成反比例。
4、 已知x、y成反比例，完成表格。
X
4

12

Y
9
18

3
3.6

5、 已知x、y成正比例，完成表格。
X
1.5
3

Y

1
4.5

0.15

6、 如果6ａ＝５ｂ，那么ａ：ｂ＝___：___， ａ：5＝___：___。
7、 有120吨货物，每次运的吨数和运的次数成（ ）比例。
8、 总价一定，购买算草本的本数和单价成（ ）比例。
9、 工作效率一定，工作总量和工作时间成（ ）比例。
10、 汽车每千米耗油量一定，所行的路程和耗油总量成（ ）比例。
二、选择
1、 如果3x=8y（x、y都不等于0），那么x和y（ ）
A、成正比例 B、成反比例
C、不成比例 D、以上说法都不对
2、 如果=（x、y都不等于0），那么x和y（ ）
A、成正比例 B、成反比例
C、不成比例 D、以上说法都不对
3、 把一堆化肥装入麻袋中，麻袋的数量和每袋化肥的重量（ ）
A、成正比例 B、成反比例
C、不成比例 D、以上说法都不对
4、 下列表示x和y成反比例的式子是（ ）
A、x+3y=12 B、y=4x
C、y= D、y=-x
5、 已知kx=y，且x和y都不为0，当k一定时，x和y（ ）
A、成正比例 B、成反比例
C、不成比例 D、以上说法都不对
6、 三种量a，b，h的关系是b=ah，当b一定时，a和h（ ）
A、成正比例 B、成反比例
C、不成比例 D、以上说法都不对
7、 甲数的是乙数，那么甲数与乙数（ ）
A、成正比例 B、成反比例
C、不成比例 D、以上说法都不对
三、判断题
1、正方形的边长和周长成正比例。（ ）
2、正方形的边长和面积成正比例。（ ）
3、a是b的，数a和数b成正比例。（     ）
4、如果4a=3b,那么a∶b=3∶4 。（ ）
5、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。（    ）
6、=B，那么A和B成反比例。 （ ）
7、长方体的体积一定，底面积和高成反比例。（ ）
8、如果x 与y成反比例，那么3 x与y也成反比例。（ ）
9、圆的面积与半径的平方成正比例。（ ）
10、圆锥的体积一定，底面积和高成反比例。（ ）
11、三角形的高一定，底和面积成反比例。（ ）
12、路程一定，车轮的直径与车轮的转数成反比例。（ ）
13、全班总人数一定，出勤人数和出勤率成正比例。（ ）
14、从甲地到乙地，已走路程和未走路程成反比例。（ ）
15、减数一定，被减数和差成正比例。（ ）
四、图表题
1、某场一生产车间的生产情况如下表：
时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
…
生产量（吨）
70
140
210
280
350
420
490
560
…
（1） 表中有哪两个量？是不是相关联的量？

（2） 写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小。

（3） 说明这个比值所表示的意义。

（4） 表中的两种量成正比例吗？为什么？

2、
平行四边形的底（cm）
1
2
3
4
5
平行四边形的高（cm）
15.6
7.8
5.2
3.9
3.12
（1） 写出两种量中相对应的两个数的积，比较大小。

（2） 积的意义是什么？表中相关联的量成什么比例？

（3） 当底为6cm的时候，高为多少？

判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。
1、天数一定，每天烧煤量和烧煤总量（ ）比例。
2、圆的直径和面积（ ）比例。
3、订《少年科学画报》的份数和所需要的钱数（ ）比例。
4、生产时间一定，每小时生产的个数和总个数（ ）比例。
5、被除数一定，除数和商（ ）比例。
6、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数（ ）比例。
7、正方形的边长和周长（ ）比例。
8、比的后项一定，比的前项和比值（ ）比例。
9、A、B、C三种量的关系是：A= 。如果B一定，A、C两种量（ ）比例。
如果C一定，A和B两种量（ ）比例。
10、如果Y=10X，X和Y（ ）比例；如果Y=，X和Y（ ）比例。
如果=Y，X和Y（ ）比例。
11、分数的大小一定，它的分子和分母（ ）比例。
12、全班人数一定，出勤人数和出勤率（ ）比例。
13、正方体一个面的面积和它的表面积（ ）比例。
14、在一定的时间里，做一个零件所用的时间和做零件的个数（ ）比例。
15、圆的半径和面积（ ）比例。
16、圆锥体的高一定，圆锥的底面半径和它的体积（ ）比例。
17、4X=8Y，X和Y（ ）比例。
18、车轮的直径一定，所行的路程和车轮的转数（ ）比例。
19、圆柱的底面半径一定，圆柱的高和圆柱的体积（ ）比例。
20、分数值一定，分子和分母（ ）比例。
21、正方形的边长和面积（ ）比例。
22、小麦的总重量一定，出粉率和面粉的重量（ ）比例。
23、三角形的面积一定，底和高（ ）比例。
24、要行一段路程，已行的和未行的路程（ ）比例。
25、长方形的长一定，宽和周长（ ）比例。
26、圆的半径和周长（ ）比例。
27、总产量一定，单产量和数量（ ）比例。
28、在同一时间里，杆高和影长（ ）比例。
29、做一项工程，工作效率和工作时间（ ）比例。
30、汽车从甲地到乙地，行车时间和速度（ ）比例。
二、判断题，对的打√，错的打ⅹ。
1、速度和时间成反比例。（ ）
2、图上距离和实际距离成正比例。（ ）
3、三角形的底一定，它的面积和高不成比例。（ ）
4、图上距离一定，实际距离和比例尺成正比例。（ ）
5、出盐率一定，盐的重量和海水的重量成正比例。（ ）

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