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第一类曲线积分讲课教案.doc
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1、第一类曲线积分精品资料1 第一类曲线积分的计算 设函数在光滑曲线上有定义且连续,的方程为则。特别地,如果曲线为一条光滑的平面曲线,它的方程为,那么有。例:设是半圆周, 。求。 例:设是曲线上从点到点的一段,计算第一类曲线积分。 例:计算积分,其中是球面被平面截得的圆周。例:求,此处为连接三点,的直线段。2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积(1)设有一曲面块,它的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为。(2)若曲面的方程为令,则该曲面块的面积为。例:求球面含在柱面内部的面积。例:求球面含在柱面内部的面积。二 化第一类曲面积分为二重积
2、分(1)设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则。(2)设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为令,则。例:计算,是球面,。例:计算,其中为螺旋面的一部分:。注:第一类曲面积分通过一个二重积分来定义,这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。例:I=,是球面,球心在原点,半径为。 3 第二类曲线积分一 变力做功和第二类曲线积分的定义1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功。先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得 。2. 第二型曲线积分的定义 定义1 设是一条光滑或逐段光滑曲线,且设是定义在上
3、的有界函数,将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段,直至终点。且设。在每一弧段 上任取一点,作和式:。其中为起点,为终点。设,这里表示有向线段的长度。若当时,和有极限,且它与的分法无关,也与点的选择无关,则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分,记作 或 。注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为。注:第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质,也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。注:在平面情况下,若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时,如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方,则这个方向就算作正向,否则就算作负向。这时只要方向不变,曲线积分
4、的值是与起点的位置无关的。二 第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交,其参数方程为:。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时,曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上,且设它在上连续。则。 (*)注:(*)积分下限必须对应积分所沿曲线的起点,上限必须对应终点。注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为例:计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为(1)直线段AB ;(2)抛物线;(3)折线闭合路径A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 )。. 例:计算积分, 这里L : (1
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