《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第二章-第10讲-函数模型及其应用.docx
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1、第10讲函数模型及其应用1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)幂函数模型f(x)axnb(a,b,n为常数,a0,n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,) 上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行随n值变化而不同做一做
2、1下列函数中,随x的增大,y的增长速度最快的是()AyexBy100 ln xCyx100 Dy1002x答案:A2生产确定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元,为猎取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件解析:选B.利润L(x)20xC(x)(x18)2142,当x18时,L(x)有最大值 1辨明两个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域(2)留意问题反馈在解决函数模型后,必需验证这个数学结果对实际问题的合理性2理解解决实际应
3、用问题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学学问,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下:扫一扫进入91导学网()几种函数模型的应用做一做3在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A15,20 B12,25C10,30 D20,30解析:选C.设矩形的另一边长为y m,则由三角形相像知,y40x.xy300,x(40x
4、)300,x240x3000,10x30.,同学用书P38P40)_一次函数与二次函数模型(高频考点)_高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等学问交汇,以解答题为主要形式毁灭高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度:(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题;(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数(1)某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差()A10元B20元C30元D.元(2)(2022高考北京卷)加工
5、爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系pat2btc(a,b,c是常数),如图记录了三次试验的数据依据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟(3)经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50,tN)前30天价格为g(t)t30(1t30,tN),后20天价格为g(t)45(31t50,tN)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系;求日销售额S的最大值解析(1)
6、依题意可设sA(t)20kt,sB(t)mt,又sA(100)sB(100),100k20100m,得km0.2,于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10,即两种方式电话费相差10元(2)依据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式,联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t2.02,所以当t3.75时,p取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟答案(1)A(2)B(3)解:依据题意,得Sa.当1t30,tN时,S(t20)26 400,当t20时,S的最大值为6 400;b当31t50,tN时,
7、S90t9 000为减函数,当t31时,S的最大值为6 210.6 2106 400,当t20时,日销售额S有最大值6 400.规律方法把实际问题数学化、建立数学模型确定要过好的三关(1)事理关:通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,生疏实际背景,为解题找出突破口;(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系;(3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学学问进行检索,从而认定或构建相应的数学模型1.(2021湖南岳阳模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件当x20时,年销售总收入为(
8、33xx2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)的函数关系式为_,该工厂的年产量为_件时,所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析:当x20时,y(33xx2)x100x232x100;当x20时,y260100x160x.故y(xN*)当020时,160x0)模型_某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少;(2)若供应饲料的公司规定
9、,当一次购买饲料不少于5吨时,其价格可享受八五折优待(即为原价的85%)问:该厂是否应考虑利用此优待条件?请说明理由解(1)设该厂x(xN*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少,平均每天支付的总费用为y1.饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.036(元),x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)从而有y1(3x23x300)2001.83x357417,当且仅当3x,即x10时,y1有最小值故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少(2)设该厂利用此优待条件,每隔x天(x25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y2,则y2(3x23x
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