2020-2021学年高中数学(人教A版-选修1-1)课时作业2.3.2.docx

2.3.2　双曲线的简洁几何性质

课时目标　1.把握双曲线的简洁几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.把握直线与双曲线的位置关系．

1．双曲线的几何性质

标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形

性质
焦点

焦距

范围

对称性

顶点

轴长
实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率

渐近线

2.直线与双曲线
一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①
双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．

一、选择题
1．下列曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为(　　)
A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A . B C. 2 D .
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.
8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．
9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为 __________．
三、解答题
10．依据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线相互垂直，与两个顶点连线的夹角为.

11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1,2)，求直线AB的方程．

力气提升
12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．

2.3.2　双曲线的简洁几何性质
学问梳理
1.
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形

性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.(1)一点　(2)两个　一个　没有
作业设计
1．B　[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝，故选B.]
2．A
3．C　[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，
则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]
4．C　[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y ＝±x.]
5．C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]
6．B　[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则≤.]
7.
解析　a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.
8.－＝1(x>3)
解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
9.－＝1
解析　∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，
∴λ＝－＝.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10．解　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
由于PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
11．解　方法一　(用韦达定理解决)
明显直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，
∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
方法二　(用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ>0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
12.

D　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.]
13．解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－<a<且a≠±1.
又∵a>0，∴0<a<且a≠1.
∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∴0<a<，且a≠1，∴e>且e≠.
∴双曲线C的离心率e的取值范围是
∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，
且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，
即a2＝.又∵a>0，∴a＝.