2021高中数学北师大版必修四导学案：《任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性》.docx

第3课时　任意角的正弦函数、
余弦函数的定义与周期性

1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.
2.把握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.把握特殊角的正弦、余弦函数值.
3.理解并把握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.
4.了解周期函数的定义,并能简洁应用.

在学校由于学习的学问不够深化和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义明显不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.

问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比值br叫作角α的　　　　,记作:sin α=br;比值ar叫作角α的　　　　,记作:cos α=ar,r=　　　　. 
当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P的纵坐标b是　　　　的函数,称为　　　　函数,记作:　　　　　;点P的横坐标a是　　　　的函数,称为余弦函数,记作:　　　　　　　. 
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为　　　　　　　,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为　　　　　　　,余弦函数值有时也叫余弦值. 
问题2:终边相同的角的正弦函数值　　　　、余弦函数值　　　　,即若β=α+2kπ(k∈Z),则sin α　　　　sin β,cos α　　　　cos β. 
问题3:正、余弦函数值的符号
(1)表格表示
　　　　象限
三角函数　　　
第一象限
其次象限
第三象限
第四象限
sin α

cos α

　　问题4:周期函数的有关概念
(1)一般地,对于函数f(x),假如存在　　　　常数T,对定义域内的任意一个x值,都有　 　　　　,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的　　　　. 
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,　　　　　　　　　　为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为　　　　　　. 

1.若sin α<0,cos α>0,则α的终边(不含端点)在(　　).
A.第一象限　　　　 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cos α的值为(　　).
A.-35 B.35 C.-45 D.45
3.若点P在角2π3的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是　　　. 
4.在时钟钟面上,分针从如图位置开头顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为r cm).

推断正弦、余弦函数值的符号
推断下列各式的符号.
(1)cos(-345°);
(2)sin 175° cos 248°.

周期函数的证明
已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.

利用正弦函数、余弦函数的定义求值
已知角α的终边在直线y=-34x上,求cos α-1sinα的值.

若角α的终边落在直线y=-x上,求sinα|cosα|+|sinα|cosα的值.

若函数f(x)是以π2为周期的奇函数,且f(π3)=1,求f(-11π6)的值.

已知角α的终边经过点P(x,-2) (x≠0),且cos α=36x,求sin α+cosαsinα的值.

1.sin2120°等于(　　).
A.±32　　　 B.32　　　 C.-32　　　 D.12
2.已知cos θ·sin θ<0,那么角θ是(　　).
A.第一或其次象限角 B.其次或第三象限角
C.其次或第四象限角 D.第一或第四象限角
3.求下列式子的值:
(1)sin132π=　　　　;(2)cos 405°=　　　　. 
4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-1f(x),求证:f(x)是以2为周期的周期函数.

(2011年·江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-255,则y=　　　　. 
　　考题变式(我来改编):

第3课时　任意角的正弦函数、
余弦函数的定义与周期性

学问体系梳理
问题1:正弦　余弦　a2+b2　角α　正弦　y=sin α(α∈R)　角α　y=cos α(α∈R)　y=sin x(x∈R)　y=cos x(x∈R)
问题2:相同　相同　=　=
问题3:正　正　负　负　正　负　负　正
问题4:(1)非零　f(x+T)=f(x)　周期　(2)2kπ(k∈Z,k≠0)　最小正周期
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1.D　∵sin α<0,∴α在第三、四象限及y轴的负半轴上,由cos α>0,可知α在第一、四象限及x轴的正半轴上,故α在第四象限.
2.A　cos α=xx2+y2=-636+64=-35.
3.(-1,3)　∵x=|OP|cos 2π3=2×(-12)=-1,y=|OP|sin 2π3=3.∴点P的坐标为(-1,3).
4.解:1125°=360°×3+45°,d=rsin 45°=22r(cm).
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角,
∴cos(-345°)>0.
(2)∵175°是其次象限角,248°是第三象限角,
∴sin 175°>0,cos 248°<0,
∴sin 175° cos 248°<0.
【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键,同时可结合图形挂念理解.
　　探究二:【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.
【小结】一般地,对于函数f(x),假如存在非零实数T,使得对任意x都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是一个周期为T的周期函数,故解决此类问题的关键是找出周期T,并证明上述等式成立.
　　探究三:【解析】求角α的正、余弦值关键是确定角α的终边上任一点的坐标,所以在角α的终边上取一点P(4,-3),
则r=|OP|=x2+y2=42+(-3)2=5.
于是sin α=yr=-35,cos α=xr=45,
所以cos α-1sinα=45+53=3715.
[问题]上述解法全面吗?
[结论]角α的终边在一条直线上时,要对角α的终边为射线y=-34x(x≤0)还是为射线y=-34x(x>0)进行分类争辩.
于是,正确解答如下:
①在角α的终边上取一点P1(4,-3).
则r=|OP1|=x2+y2=42+(-3)2=5.
于是sin α=yr=-35,cos α=xr=45,
∴cos α-1sinα=3715.
②在角α的终边上取一点P2(-4,3).
则r=|OP2|=x2+y2=(-4)2+32=5.
于是sin α=yr=35,cos α=xr=-45,
∴cos α-1sinα=-45-53=-3715.
综上,cos α-1sinα的值为3715或-3715.
【小结】(1)在角α的终边上取点,利用定义求sin α,cos α;
(2)若终边落在直线上,则需分两种状况争辩.
思维拓展应用
应用一:当α的终边落在其次象限时,sinαcosα+sinαcosα=sinα-cosα+sinαcosα=0;
当α的终边落在第四象限时,sinαcosα+sinαcosα=sinαcosα+-sinαcosα=0.∴sinα|cosα|+|sinα|cosα=0.
　　应用二:∵f(x)是以π2为周期的奇函数,
∴f(-11π6)=-f(11π6)=-f(3×12π+π3)=-f(π3)=-1.
　　应用三:∵P(x,-2)(x≠0),∴点P到原点的距离r=x2+2.
又cos α=36x,∴cos α=xx2+2=36x.
∵x≠0,∴x=±10,∴r=23.
当x=10时,P点的坐标为(10,-2),
由三角函数的定义,有sin α=-223=-66,cosαsinα=10-2=-5,
∴sin α+cosαsinα=-66-5=-65+66;
当x=-10时,同理,可求得sin α+cosαsinα=65-66.
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1.B　sin2120°=|sin 120°|=32.
2.C　若cos θ>0,sin θ<0,则θ在第四象限;若cos θ<0,sin θ>0,则θ在其次象限.故选C.
3.(1)1　(2)22　(1)sin132π=sin(π2+6π)=sinπ2=1.
(2)cos 405°=cos(45°+360°)=cos 45°=22.
4.解:∵f(x+2)=-1f(x+1)=-1-1f(x)=f(x),
即f(x+2)=f(x).
∴由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.
全新视角拓展
-8　r=x2+y2=16+y2,且sin θ=-255,所以sin θ=yr=y16+y2=-255,则y=-8.
思维导图构建
f(x+T)=f(x)