2021高中数学北师大版选修2-3学案：《排列应用举例》.docx

第5课时　排列应用举例

1.进一步巩固对排列、排列数的概念的理解.
2.学会排列问题的推断及常见的几种解法.
3.培育同学转化化归的数学思想.

6个人预定了一个晚宴,其中有两个人是一对夫妻,服务生依据要求选取了一个6个座位的圆形桌子,并依据6个人的名字支配座位,那么夫妻相邻而坐的方法有多少种?

问题1:甲、乙分别对复习导入问题给出了他们的解法.
甲的解法:先排一对夫妻中男的位置,有A61种方法,再排这对夫妻中女的位置,有A21种方法,其他4人随机排,有　　　　　　种方法,共计有A61A21A44=288种方法. 
乙的解法:把夫妻捆绑看作一个元素,与其他人进行排列有A55A22=240种方法.
上述解法中,甲的解法正确,乙的解法错误,错误缘由是　　　　　　　　　　　　　　　　. 
问题2:相邻问题与不相邻问题
(1)相邻问题:把相邻的两个元素先内部排列,再捆绑看成一个元素,与其他元素进行排列.
(2)不相邻问题:先把其他的元素进行排列,再把要求不相邻的元素插入其他元素的空位之间.
问题3:排列应用题解题思路
(1)分析参与排列的元素有没有限制,若无限制条件直接应用公式.
(2)在有限制的排列中,特殊元素先排,特殊位置先排.
(3)相邻问题用　　　　　　,不相邻问题用　　　　　　. 
(4)分类争辩要留意不重不漏的原则.

1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(　　).
A.42　　　　B.30　　　　C.20　　　　D.12
2.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　).
A.24 B.18 C.12 D.6
3.A、B、C、D、E五人并排站成一排照相,假如B必需站在A的右边(A、B可以不相邻),则不同排列的种数为　　　　. 
4.7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?

阶乘公式的应用
(1) 计算A85+A84A96-A95的值;(2)解不等式A9x>6A9x-2.

排列应用题
7人站成一排照相,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
(2) 全体排成一排,甲、乙、丙都在一起;
(3)全体排成一排,甲、乙、丙互不相邻;
(4)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.

排列中的染色问题
用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,假如颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?

化简:1×1!+2×2!+3×3!+…+n×n!.

用0,1,3,5,7五个数字,可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数?

四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色.求共有多少种不同的涂色方法?

1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为平安起见,首尾肯定要排两位爸爸,另外,两个小孩肯定要排在一起,则这6人的入园挨次排法种数为(　　).
A.48　　　　　　　B.36　　　　　　　C.24　　　　　　　D.12
2.如图,将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有(　　).
1
2
3
3
1
2
2
3
1

　　A.8 B.12 C.18 D.24
3.将A、B、C、D、E五个不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文件A、B必需放入相邻的抽屉内,文件C、D也必需放相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内满足条件的全部不同的方法有　　　种. 
4.8位同学站成一排,共有多少种不同的排法?

　　(2021年·北京卷) 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,假如分给同1人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是　　　　. 

　　考题变式(我来改编):

第5课时　排列应用举例
学问体系梳理
问题1:A44　乙的解法是针对站成一排,首尾不相接的情形,圆形排列可以看作是首尾相接的排列,所以乙的解法补上夫妻两人分别站在首末两端的情形,即A55A22+A22A44=288
问题3:(3)捆绑法　插空法
基础学习沟通
1.A　可分为两类:两个节目相邻或两个节目不相邻,若两个节目相邻,则有A22A61=12种排法;若两个节目不相邻,则有A62=30种排法.由分类加法计数原理知共有12+30=42种排法.
2.B　依据所选偶数为0和2分类争辩求解.
当选0时,0只能消灭在十位数字上,有A32种方法;
当选2时,2只能消灭在十位数字或百位数字上,有A21A32种方法.
由分类加法计数原理知共有A32+A21A32=18个奇数.
3.60　完成这件事可分两步:第一步在5个位置中先选三个位置排C、D、E三人,有A53种不同排法;其次步在余下的两个位置上支配A、B两人,只有1种排法,所以共有A53×1=60种不同排法.
4.解:问题可以看作是余下的6个元素的全排列,即共有A66=720种排法.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)(法一)A85+A84A96-A95=8!3!+8!4!9!3!-9!4!=4×8!+8!4×9!-9!=527.
(法二)A85+A84A96-A95=4A84+A8436A84-9A84=5A8427A84=527.
(2) 原不等式转化为9!(9-x)!>6×9!(11-x)!,即1(9-x)!>6(11-x)·(10-x)·(9-x)!,
化简得x2-21x+104>0, 解得x<8或x>13,又由于2<x≤9,且x∈N+,所以原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.
【小结】在使用排列数公式Anm=n!(n-m)!进行计算时,要留意公式成立的条件:m,n∈N+,m≤n.
　　探究二:【解析】(1)(法一)(优先法)甲为特殊元素.先排甲,有5种方法,其余6人有A66种方法,共有5×A66=3600种方法.
(法二)排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列,有A62种方法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有A55种方法,共有A62×A55=3600种方法.
(2)(捆绑法)将甲、乙、丙看成一个整体,与其他4人在一起进行全排列,有A55种方法,再将甲、乙、丙进行全排列,有A33种方法,故共有A55×A33=720种方法.
(3)(插空法)先排其他4人,有A44种方法,再从4人之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排甲、乙、丙,有A53种方法,故共有A44×A53=1440种方法.
(4)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步先排甲、乙两人有A22种方法,再从剩下的5人中选3人排到中间,有A53种方法,最终把甲、乙及中间3人看作一个整体,与剩余2人全排列,有A33种方法,故共有A22×A53×A33=720种方法.
【小结】求有限制条件的排列应用题的主要方法有:
(1)特殊元素(或位置)优先支配的方法,即先排特殊元素或特殊位置;
(2)相邻问题捆绑处理的方法.即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同时留意捆绑元素的内部排列;
(3)不相邻问题插空处理的方法.即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
(4)分排问题直排处理的方法;
(5)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法;
(6)定序问题除法处理的方法.即可以先不考虑挨次限制,排列后再除以定序元素的全排列;
(7)正难则反,等价转化的方法.
　　探究三:【解析】给4个区域涂色,分四步完成,第一步:涂1号区域有5种方法;其次步:从剩下的4种颜色中选一种涂2号区域,有4种方法;第三步,从与2号区域不同颜色的4种颜色中选一种涂3号区域,有4种方法;第四步,从与1号、3号区域不同颜色的3种颜色中选一种涂4号区域,有3种方法,依据分步乘法计数原理可得不同涂色方法总数共有5×4×4×3=240种.
[问题]上述解法正确吗?这样分成四步选择,有没有遗漏的状况?
[结论]不正确,上述思路在计算时存在遗漏状况,我们不能只留意到相邻区域不同颜色这一条件,还需对相对区域是否同色进行争辩.为了避开争辩时的重复和遗漏,我们对四个区域所需涂色的种数进行争辩,正确解法如下:
可把问题分为三类:(1)四格涂4种不同的颜色,方法种数为A54=120;(2)四格涂3种颜色,这时有且仅有一组对角小方格颜色相同,涂法种数为2×5×A42=120;(3)四格涂2种颜色,这时两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为A52=20,因此,所求的不同涂色方法种数为120+120+20=260种.
【小结】解含有约束条件的排列问题,应按元素的性质进行合理分类,事情发生的连续性分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏.
思维拓展应用
应用一:由(n+1)!=(n+1)n!=n×n!+n!,得n×n!=(n+1)!-n!,∴原式=(n+1)!-n!+n!-(n-1)!+…+2!-1!=(n+1)!-1.
　　应用二:本题可分两类:
第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所以五位数的个数为A44=24;
其次类:0不在十位位置上,这时,由于5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有A31=3种方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法A31=3种.十位、万位上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法A33=6种.依据分步乘法计数原理,其次类中所求五位数的个数为A31·A31·A33=54.
由分类加法计数原理,符合条件的五位数共有24+54=78个.
　　应用三:依题意只能选用4种颜色,要分四类:
(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有A44;
(2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有A44;
(3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有A44;
(4)③与⑤同色、②与④同色,则有A44;
(5)②与④同色、③与⑥同色,则有A44,
所以依据加法原理得涂色方法总数为5A44=120.
基础智能检测
1.C　由题意得爸爸排法为A22,两个小孩排在一起看成一体有A22种排法,妈妈和孩子共有A33种排法,因此排法种数共有A22A22A33=24种.故选C.
2.B　首先需要填写第一行第一列,其余即可确定.因此共有A33A22=12种.
3.96　利用“捆绑法”,AB、CD分别捆在一起,此时问题相当于把3个不同文件放入四个不同的抽屉内,每个抽屉至多放一个文件,则有A43(A22·A22)=96种方法.
4.解:问题可以看作:8个元素的全排列A88=40320.
全新视角拓展
96　将5张参观券分成4堆,有2个连号有4种分法,每种分法再分给4人,各有A44种分法,因此不同的分法种数是4A44=96.
思维导图构建
(1)①元素　②肯定的挨次　(2)②排列挨次　n!(n-m)!
(1)n　少1　n-m+1　m　(2)排列　阶乘　优先排　捆绑法　插空法　直排法　除法