河南省开封市2022届高三上学期第一次模拟考试-数学(理)-Word版含答案.docx

开封市2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
留意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生依据题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中为底面面积，为高 其中R为球的半径

第I卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（是虚数单位），，则 （ B ）
A. B. C. D.
2. 设a=(,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ的值等于(C)
A.- B.0 C.- D.-1
3. 已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：；　　：；　　：　和　：　中，真命题是（　C　）
A．， B．， C．， （D），
4.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是（ C ）
A． B．1 C． D．2
5. 如图的程序框图，假如输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的推断框中，应当填入下面四个选项中的 （ A ）
A. ?
B. ?
C. ?
D. ?

6．下列说法错误的是（ B ）
A．自变量取值确定时，因变量的取值带有确定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强；
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
D．在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好.
7. g(x)=f(x)-1在[-2π,0]上零点的个数为(B)
A.0 B.1 C.2 D.3
若x,y满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（ B ）

8. 若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ).
A. B. C. D.
9. 已知在各项为正的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时首项a1等于(C)
A.8 B.4 C.2 D.1

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（A）

A． B． C． D．

11. 已知双曲线满足彖件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为. 若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有 （ B ）
①双曲线上的任意点都满足；
②双曲线的虚轴长为4；
③双曲线的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；
④双曲线的渐近线方程为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12. 设函数f(x)=ex(x3- 3x+3) -aex一x（x≥-2），若不等式≤0有解．则实数a的最小值为(C)
A．—1 B．2一 C．1 - D．1+2e2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必需做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试依据要求做答。
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 设函数f（x）=，则方程f（x）= 的解集为 {﹣1，} .
14. 已知函数=2sin(π+x)sin(x+）的图象关于原点对称，其中，则函数.则 .
15. 在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且 时，则x-y= .-2
16. 已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为 .4021

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，
∴2bcosB=ccosA+acosC
由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB
代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．
又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB．
而sinB≠0，所以cosB=，及0＜B＜π，得B=．
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，
∴=，
又a+c=，b=，
∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，
∴S△ABC=acsinB=××=．

18.(本小题满分12分)
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．

解：（Ⅰ） 平面ADC⊥平面ABC，且 ,
即 又
平面 平面
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系设平面 和平面 的法向量分别是

由 解得

二面角 的余弦值为 .

19.（本小题满分12分）
某生物产品，每一生产周期成本为10万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体状况如下表：
产量（吨）
30
50
概率
0.5
0.5

市场价格（万元/吨）
0.6
1
概率
0.4
0.6

（Ⅰ）设X表示1生产周期此产品的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若连续3生产周期，求这3生产周期中至少有2生产周期的利润不少于20元的概率．

解：（Ⅰ）设A表示大事“产品产量为30吨”，B表示大事“作物市场价格为0.6万元/吨”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的全部值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
X 40 20 8
P 0.3 0.5 0.2
（Ⅱ）设Ci表示大事“第i生产周期利润不少于20万元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=40）+P（X=20）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3生产周期的利润均不少于20的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3生产周期的利润有2生产周期不少于20的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，

（本小题满分12分）
20.如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.
（Ⅰ）求圆的半径;
（Ⅱ）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G
．
证明：直线与圆相切．

解: （Ⅰ）设，过圆心作于,交长轴于
由得,
即 (1) ……………2分
而在椭圆上, (2)
由(1)、 (2)式得,解得或（舍去） ……………4分
(Ⅱ) 设过与圆相切的
直线方程为: (3)
则,即 (4)
解得 ……………6分
将(3)代入得,则异于零的解为
设,，则
则直线的斜率为： ……………9分
于是直线的方程为:
即
则圆心到直线的距离 ……………12分
故结论成立.

21．（本小题满分12分）已知函数f (x)＝xlnx＋ax(a∈R)
(Ⅰ)若函数f (x)在区间[ ,＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(Ⅱ)若对任意x∈(1,＋∞)，f (x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值.
解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1
∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，
∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0， ……………2分
即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx．
又当x∈[e2，+∞）时，
lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．
∴a≥-3； ……………5分
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，
即x•lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，
也就是k（x-1）＜x•lnx+ax-ax+x恒成立，
∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．
则问题转化为k＜ 对任意x∈（1，+∞）恒成立， ……………6分
设函数h（x）=，则h′(x)= ，
再设m（x）=x-lnx-2，则m′(x)=1-．
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，
则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，
∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，
m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．
∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0．
∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0， ……………8分
∴h(x)= 在（1，x0）上递减，
x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h(x)= 在（x0，+∞）上递增，
∴h（x）的最小值为h（x0）=．
∵m（x0）=x0-lnx0-2=0，∴lnx0+1=x0-1，代入函数h（x）=
得h（x0）=x0，
∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，
∴k的值为1，2，3． ……………12分
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。留意：只能做所选定的题目。假如多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分10分） 选修4-1：平面几何选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E； ……………5分
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形． ……………10分
23．（本小题满分10分）选修4﹣4：极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．
解：解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a，由于曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），
解得a=1，故C2的直角坐标方程为 y=1． ……………5分
（Ⅱ）由题意可得，； φ； ；=2cos（+φ），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ
=8cosφ=8×=4． ……………10分

24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|
=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥2=2． ……………5分
（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）． ……………10分