高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章-拓展资料：推理与证明中的创新题.docx

推理与证明中的创新题
推理与证明在高考中是无处不在，不行避开的。由于数学就是一种推理，将题目中的要求与自己所学的学问进行比较，归结转化为自己生疏的学问，将生疏的内容与题目中的新事物进行比较，找到异同点得到结论，然后证明所得的结论，就是推理与证明的解题过程。下面依据几个具体的题目来说明他们的应用。
1：做下面试验，假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面操作后，糖水的甜度（浓度）是否转变？
1）①：将全部杯糖水倒在一起
②：将任意多杯糖水倒在一起
2）：将某杯水中加入一小勺糖，糖全部溶化类比这一试验，你能得到数学上怎样的关系是？
分析：1）上述试验表示，将任意多杯甜度相同的糖水，倒在一起后，糖水的甜度不变，由此类比若将看作倒前糖水的甜度，则倒后甜水的甜度为从而得（）
2）：设某杯水甜度为，加入糖的质量为（0）由于糖全溶化后甜度为，糖变甜了，则
解：1）得出数学上某些定理
若，则
2）得不等式：若，且、则
点评：本题由试验过程猜想实数的某些定理及不等式关系，这用了归纳推理及类比推理的方法，有助于培育同学的试验力气及合情推理力气
2：1997年11月8日中心电视台正在播放格外壮丽的长江三峡工程大江截流的实况，截流从上午9：00开头，当时龙口的水面宽度40米，水深若干米，每隔一段时间播音员报告龙口的水面宽度和工程的进展状况，现记录部分时段公布的数据如下：
时间
9：00
10：00
11：00
12：00
…
16：00
龙口宽
40m
39m
…
34m

工程进度

1m

数据列

…

估量下午16：00合拢，现依据截至12：0的部分数据
1）同学甲将工程进度模拟成等差数列，=1 ，=5
2）同学乙将工程进度模拟成等比数列， =1 ， =5
试问：通过计算，同学甲和同学乙的结果分别说明的什么？（指解是否如期合拢）
分析：本题主要依据甲、乙分别对工程进度猜想的数列模式进行运算，同学运算的结果与实际状况相比较，查找更合理的结论。
解：同学甲的方法：将工程进度的模拟成等差数列
以=1，=∴
∴
说明按甲模拟的结果不能如期合拢
同学乙的方法：将工程进度模拟成公比为的等比数列
由=1，= 得
∴
说明按乙模拟的结果可以提前完成
点评：生活中，通过报纸、电视、广播、网络等手段，可猎取相当多的数据与信息，若其可看作数学问题，则可用合情推理的方法获得结论，再以证明的方法加以验证，从而真正让数学与生活中的方方面面结合起来。
3：在中，与，求证：,那么在四周体中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。
分析：首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四周体之间外形的对比猜想结论，并予以证明。
解：如右图所示，由射影定理
, A
∴
而 B D C
∴
猜想：类比猜想四周体中两两垂直，平面与，则：
证明：如图、连接交与、连接 A
∵ ∴平面
而面,∴ B E F
在中，∴
在中∴
∴,∴猜想正确
点评：类比推理是依据两个对象有一部分属性类比推出这两个对象其属性(为)，类似的一种推理方法。
4、有对称中心的曲线叫做有心曲线，明显椭圆、双曲线都是有心曲线，过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径
定理：过圆：上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1。
1）：写出定理在椭圆中的推广，并加以证明
2）：写出定理在双曲线中的推广，你能从上述结论中得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论！
分析：本题主要由圆上的点与直径端点的连线的关系，类比到椭圆、双曲线上的点与直径端点的连线的位置关系，然后对它们的关系进行归纳、整理。
解：1）设椭圆上长轴的两个端点分别为A、B。由椭圆的对称性可知，A、B关于原点对称，所以A、B两点的坐标，分别为A，B，P是椭圆上任意一点，且
∵A、B、P三点都在椭圆上，所以有
既 ①
既 ②
②-①得

而 ，
∴
所以定理在椭圆中的推广为
已知椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点的连线，叫两条连线所在直线的斜率之积为定值
2）定理在双曲线中的推广应为：
过双曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，叫两条连线所在直线的斜率之积为定值
3）定理在有心圆锥曲线中的推广为：
过有心曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点的连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值