浙江省绍兴一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)-Word版含答案.docx

2022学年
第一学期
绍兴一中 期中测试试题卷
高二（文科）数学
第I卷（共30分）
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的．
1．与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为(　 　)
A. (-1,3，-2) B. (-1，-3,2) C. (1,3,2) D. (1，-3，-2)
2.空间有四个点,假如其中任意三个点都不在同始终线上,那么过其中三个点的平面（ ）
A.可能有三个，也可能有两个； B.可能有四个，也可能有一个；
C.可能有三个，也可能有一个； D.可能有四个，也可能有三个；
3.空间直线a、b、c，平面，则下列命题中真命题的是（ ）：
A. 若a⊥b,c⊥b,则a//c; B. 若a//c,c⊥b,则b⊥a;
C. 若a与b是异面直线, a与c是异面直线, 则b与c也是异面直线.
D. 若a// ，b//，则a// b;
4. 某几何体的三视图如图所示，依据图中标出的
数据，可得这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．12
5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( 　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB：A′B′＝ (　　)
A．2：1 B．3 ：1
C．3：2 D．4 ：3
8．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．命题“若，则，中至少有一个为零”的否命题是“若，则，中至多有一个为零”；
D．对于命题：，使得；则：，均有．
9、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是(　　)
①
③

④
②

A．①④ B．②③ C．②④ D．①②
10．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分）
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题3分, 共21分．
11．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 .
12. 在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b，
＝c，试用基底{ a ，b，c}表示向量= .
13．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的外形是________.　
14．已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_______．
15.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为　　　　.
16. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则棱 =_________
17．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有：
①AC⊥β；②AC∥BD；③AB与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是________．(填上你认为正确的全部条件的序号)
三、解答题: 本大题共5小题, 共49分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
18．(本小题满分8分)设命题p：∃x0∈R，x＋2ax0－a＝0.
命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.
（1）假如p是真命题，求实数的取值范围；
（2）假如命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

P
A
B
D
C

19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，
PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC，∠BCD=900
（1） 求证：PC⊥BC
（2） 求点A到平面PBC的距离

20. （本小题满分10分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的余弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？
证明你的结论．

21．（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，，
（1）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.
(1)证明B1C1⊥CE.
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.

2022学年第一学期

绍兴一中 高二数学（文）期中考答题纸

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

11、 . 12、 . 13、 . 14、

15、 . 16、 . 17、 .

三、解答题（本大题共5小题, 共49分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）
18．(本小题满分8分)设命题p：∃x0∈R，x＋2ax0－a＝0.
命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.
（1）假如p是真命题，求实数的取值范围；
（2）假如命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

P
A
B
D
C
19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，
PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC，∠BCD=900
（3） 求证：PC⊥BC
（4） 求点A到平面PBC的距离

20. （本小题满分10分）如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？
证明你的结论．

21．（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，。
（1）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.
(1)证明B1C1⊥CE.
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.

2022学年
第一学期
绍兴一中 期中测试试题卷
高二（文科）数学
第I卷（共30分）
【解析】　当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．
而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不愿定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.
【答案】　A

6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（D ）
A． B． C． D．
7．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB：A′B′＝ (　A　)

A．2：1 B．3 ：1
C．3：2 D．4 ：3
[解析]　在Rt△ABB′中，AB′＝AB·cos＝AB.
在Rt△ABA′中，AA′＝AB·sin＝AB.
在Rt△AA′B′中，A′B′＝＝AB.
∴AB：A′B′＝2：1，选A.
8．下列命题错误的是（ C ）
A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是“若方程没有实数根，则”；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．命题“若，则，中至少有一个为零”的否命题是“若，则，中至多有一个为零”；
D．对于命题：，使得；则：，均有．
9、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（A ）
①
③

④
②

A．①④ B．②③ C．②④ D．①②

10．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　D　)

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
[答案]　D
[解析]　在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC
第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分）
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 。 (－1,0,0)，(－1,2,0)
【解析】　点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故(－1,0,0)，(－1,2,0)
12. 在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b，
＝c，试用基底{ a ，b，c}表示向量= .
.a＋b＋c
C的重心，∴＝＝·(＋)＝(＋－2)，∴＝＋＝(＋＋)＝a＋b＋c.
13．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的外形是________．　直角三角形
【解析】　∵＝(5,1，－7).＝(2，－3,1)，∴·＝10－3－7＝0.
∴⊥，∴∠ACB＝90°，又∵||≠||，
∴△ABC为直角三角形．
【答案】　直角三角形
14．已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_______．8π
答案：8π．提示：三棱锥S—ABC是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同．2R=，R=．

15.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为　　　　.

【解析】　设正方体的棱长为1，建系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)．
又＝(0,0,1)，
则cos〈，〉＝＝＝.
故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.

16. 在长方体中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，则棱 =_________3
解：设，由题设，
得，即，解得．故的长为
17．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有：

①AC⊥β；②AC∥BD；③AB与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
那么上述几个条件中能成为增加条件的是________．(填上你认为正确的全部条件的序号)
[答案]　①③
[解析]　
⇒EF⊥BD，故①正确；

⇒AB与CD确定的平面ABDC⊥β，
⇒EF⊥平面ABDC⇒EF⊥BD故③正确．

三、解答题: 本大题共5小题, 共42分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
18．(本小题满分8分)设命题p：∃x0∈R，x＋2ax0－a＝0.命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1. （1）假如p是真命题，求实数的取值范围；
（2）假如命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解】　（1）当p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，a的取值范围为 2分
（2）当q为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立
∴即a≥2 4分
由题意得，命题p与q一真一假．
当命题p为真，命题q为假时，得 6分
当命题p为假，命题q为真时，得a∈∅.
∴实数a的取值范围为． 8分
P
A
B
D
C

19.（本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，
PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC，∠BCD=900
（5） 求证：PC⊥BC
（6） 求点A到平面PBC的距离

答案：（1）略 ……4分（2） 2DH= 为所求…………9分

20．（本小题满分10分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的余弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？
证明你的结论．
20． [解析]　解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，
所以＝(－1,1，)，＝(0,1,0)．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为θ，则
sinθ＝＝＝.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.余弦值为5分
(2)依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1), ＝(－1,1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，得
所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)，而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．
这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE. 5分
解法二：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.
由于E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， ∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2， BE＝＝3.

于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝.
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B.
又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.
这说明A1，B，G，E共面．所以BG⊂平面A1BE.
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG.
而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.

21.（本题满分10分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，，

（Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（I）平面平面；
证明：由题意得且
又，则
则平面,
故平面平面 ………………5分
（Ⅱ）以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立
空间直角坐标系如右图示，则,, 可得, 平面ABCD的单位法向量为， ……………………………………8分
设直线PC与平面ABCD所成角为，则
则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ………10分

21.（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.

(1)证明B1C1⊥CE.
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.
【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).
(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE. 4分
(2)=(1，-2，-1)，
设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，
则即消去x，
得y+2z=0，不妨设z=1，
可得一个法向量为m=(-3，-2，1).
由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.
于是cos<m，>= ==-，从而sin<m，>=.
所以二面角B1-CE-C1的正弦值为. 4分
(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则
sinθ==
==.
于是=，解得λ=，所以AM=.4分
【一题多解】(1)由于侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，
经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，
从而B1E2=B1+E，
所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，
又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，
所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，
故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，

由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，
B1C1∩B1G=B1，
故CE⊥平面B1C1G，
又C1G⊂平面B1C1G，得CE⊥C1G，
所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.
在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.
在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.
设AM=x，从而在Rt△AHM中，
有MH=x，AH=x，
在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，
得EH=MH=x，
在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，
由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，
得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，
解得x=.所以线段AM的长为..4分