2021高考数学(文理通用)一轮课时作业6-函数的奇偶性与周期性.docx

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课时提升作业(六)
函数的奇偶性与周期性
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·北京模拟)函数y=f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)的图象关于(　　)
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.点(1,1)对称
【解析】选A.由1-x>0,1+x>0得-1<x<1,即函数定义域为(-1,1),又f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)=f(x),所以函数y=lg(1-x)+lg(1+x)为偶函数,其图象关于y轴对称.
2.已知函数f(x)=lg|x|,x∈R且x≠0,则f(x)是(　　)
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0,+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B.f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),故函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=lgx,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故选B.
3.(2022·绍兴模拟)若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,
则(　　)
A.函数f(x)·g(x)是偶函数
B.函数f(x)·g(x)是奇函数
C.函数f(x)+g(x)是偶函数
D.函数f(x)+g(x)是奇函数
【解析】选B.由已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数与偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
因此f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)
=-[f(x)g(x)],
故函数f(x)·g(x)是奇函数.
【加固训练】设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(　　)
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
【解析】选D.A中令F(x)=f(x)f(-x),
则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),
即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数,
B中令F(x)=f(x)|f(-x)|,
则F(-x)=f(-x)|f(x)|,
此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,
即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定,
C中令F(x)=f(x)-f(-x),
则F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),
即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数,
D中令F(x)=f(x)+f(-x),
则F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),
即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,
故选D.
4.(2022·金华模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且f(x)=log2(-3x+1),则f(2022)=(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.log27
【解析】选C.由已知得f(2022)=f(3×671+1)
=f(1)=-f(-1)=-log2[-3×(-1)+1]=-2.
【加固训练】(2021·威海模拟)奇函数y=f(x)满足f(3)=1,且f(x-4)=f(x)-f(3),则f(2)等于(　　)
A.0 B.1 C.-12 D.12
【解析】选D.由于f(x-4)=f(x)-f(3),
所以取x=2,得f(-2)=f(2)-f(3),
即f(3)=f(2)-f(-2),
由于y=f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2),
因此,f(3)=f(2)-f(-2)=2f(2),
得f(2)=12f(3)=12×1=12,
故选D.
5.(2021·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B.0,12
C.12,2 D.(0,2]
【思路点拨】依据对数的运算性质和函数的奇偶性,将条件f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)化为f(log2a)≤f(1),再结合单调性转化为log2a≤1求解.
【解析】选C.依据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f(log12a)=f(-log2a)=f(log2a),因此f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)可化为f(log2a)≤f(1).又由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,故log2a≤1,解得12≤a≤2.
6.(2022·温州模拟)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lgx,设a=f65,b=f32,c=f52,则(　　)
A.c<a<b B.a<b<c
C.b<a<c D.c<b<a
【解析】选A.a=f65=f-45=-f45=-lg45=lg54,
b=f32=f-12=-f12=-lg12=lg2,
c=f52=f12=lg12,
由于2>54>12,所以lg2>lg54>lg12,
所以b>a>c.
7.(2022·宁波模拟)在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)(　　)
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
【思路点拨】依据f(x)=f(2-x)得对称性与周期性,结合奇偶性,画出大致图象数形结合求解.
【解析】选B.由f(x)=f(2-x)知其图象关于直线x=1对称,且有f(2+x)=f(2-x)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,得其大致图象如图所示,由图象知B正确.

8.(力气挑战题)(2021·重庆高考)已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=(　　)
A.-5 B.-1 C.3 D.4
【思路点拨】构建奇函数g(x)=ax3+bsinx.依据函数的奇偶性求解.
【解析】选C.由于lg(log210)=lg1lg2=-lg(lg2),
令g(x)=ax3+bsinx,则g(x)为奇函数,
所以g(lg(lg2))+g(-lg(lg2))=0,
又f(lg(log210))=f(-lg(lg2))
=g(-lg(lg2))+4=5,　 ①
设f(lg(lg2))=g(lg(lg2))+4=m,　 ②
①+②得8=5+m,所以m=3.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=　　　　.
【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,
所以a=-1.
答案:-1
【加固训练】已知函数f(x)=|x-2|-a4-x2为奇函数,则fa2=　　　　.
【解析】要使函数f(x)=|x-2|-a4-x2有意义,则4-x2>0,解得x2<4,-2<x<2,
所以函数的定义域为(-2,2).
由于f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即f(0)=2-a4=0,解得a=2.
所以fa2=f(1)=|1-2|-24-12=-13=-33.
答案:-33
10.(2022·湖州模拟)若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于　　　　.
【思路点拨】先由偶函数求a的值,再用周期性求f(-6).
【解析】由于y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),
所以f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0,
所以a=1,f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).
f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.
答案:-1
11.已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,则g(-1)=　　　　.
【思路点拨】先依据g(1)求f(1),从而f(-1)可求,再求g(-1).
【解析】由g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,
得f(1)=g(1)-2=-1.
由于f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,
所以g(-1)=f(-1)+2=1+2=3.
答案:3
12.(力气挑战题)关于函数f(x)=lgxx2+1,有下列结论:①函数f(x)的定义域是(0,+∞);②函数f(x)是奇函数;③函数f(x)的最大值为-lg2;④当0<x<1时,函数f(x)是增函数,当x>1时,函数f(x)是减函数,其中正确结论的序号是
　　　　(写出全部你认为正确的结论的序号).
【解析】由f(x)=lgxx2+1知xx2+1>0,所以x>0,即函数f(x)的定义域是(0,+∞),①正确.
②函数f(x)是奇函数,不正确,由于定义域不关于原点对称.
由于f(x)=lgxx2+1=lg1x+1x,x+1x≥2,
所以函数f(x)的最大值为-lg2,③正确.
由复合函数的单调性,当0<x<1时,函数f(x)是增函数,当x>1时,函数f(x)是减函数,④正确,综上知答案为①③④.
答案:①③④
【误区警示】本题②简洁忽视函数的定义域而导致错解,在推断函数的奇偶性时要留意先推断定义域是否关于原点对称.
【加固训练】函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:
①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称;
②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;
④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是　　　　.
【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错;
对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;
对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确;
对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.
答案:②③④
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.
(1)求实数a的取值范围.
(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
【解析】(1)f(x)=(a+2)x-4,　x≥2,(a-2)x+4,　x<2,
要使函数f(x)有最小值,需a+2≥0,a-2≤0,
所以-2≤a≤2,
即当a∈[-2,2]时,f(x)有最小值.
(2)由于g(x)为定义在R上的奇函数,
所以g(0)=0.
设x>0,则-x<0,
所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
所以g(x)=(a-2)x-4,　　x>0,0,x=0,(a-2)x+4,x<0.
【误区警示】本题(2)在求解析式时,简洁忽视x=0的状况,而导致错解.
14.(2022·广州模拟)已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数.
(1)求实数m的值.
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知a-2>-1,a-2≤1,
所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
15.(力气挑战题)定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).
(1)推断k为何值时,f(x)为奇函数,并证明.
(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,
令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.
证明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,
则f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
(2)由于f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.
所以f(mx2-2mx+3)>3=f(2)对任意x∈R恒成立.
又f(x)是R上的增函数,所以mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,
即mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,
当m=0时,明显成立;
当m≠0时,由m>0,Δ=4m2-4m<0,得0<m<1.
所以实数m的取值范围是[0,1).
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