2020-2021学年高中人教B版数学必修四课时作业：第二章--章末检测(B).docx

其次章 平面对量（B）
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(　　)
A．－6 B．6 C．9 D．12
2．下列命题正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1．
3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－，2) B．(－∞，－)∪(2，＋∞)
C．(－2，) D．(－∞，2)∪(，＋∞)
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于(　　)
A．8 B．6 C．－8 D．－6
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是(　　)
A． B． C． D．
6．关于平面对量a，b，c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．
其中正确的命题是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的射影等于(　　)
A．－4 B．4 C．－ D．
8．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则(　　)
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
9．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　)
A． B．2 C．3 D．6
10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n等于(　　)
A． B． C． D．1
11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于(　　)
A．－ B．－ C．0 D．
12．定义平面对量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np．下面说法错误的是(　　)
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．
15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，以向量＝a，＝b为边作▱AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、．

18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：(1)(a－2b)·(a＋b)；
(2)|a＋b|；
(3)|3a－4b|．

19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．

20．(12分)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设＝a，＝b，＝ma，＝nb．
求证：＋＝3．

其次章　平面对量(B) 答案

1．B　[∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6．]
2．C　[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b
|a＋b|＝|a－b|．
∴a·b＝0．]
3．A　[∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，
∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，
即3m2－2m－8<0，
∴－<m<2．]
4．A　[∵＝＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8．]
5．C　[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，
∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴〈a，b〉＝．]
6．B　[由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④．]
7．A　[向量a在向量b上的射影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4．]
8．B　[∵＝λ＋(1－λ)
＝＋λ(－)
∴＝λ，λ∈(1,2)，
∴点B在线段AM上，故选B．]
9．C　[设△ABC边BC的中点为D，则
＝＝．
∵＝(＋)＝，
∴＝，∴||＝||．
∴＝3．]
10．B　[＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
故有m＋n＝＋＝．]
11．B　[由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－．同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－．]
12．B　[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]
13．2
解析　∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．
∴λ＝2．
14．7
解析　∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b
＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49．
∴|5a－b|＝7．
15．2x－3y－9＝0
解析　设P(x，y)是直线上任意一点，依据题意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0．
16．－8
解析　设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8．
17．解　＝－＝a－b．
∴＝＋＝＋
＝＋＝a＋b．
又＝a＋b．
＝＋＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－
＝a＋b－a－b
＝a－b．
18．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4．
(1)(a－2b)·(a＋b)
＝a2－2a·b＋a·b－2b2
＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22
＝12．
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12．
∴|a＋b|＝2．
(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22
＝16×19，
∴|3a－4b|＝4．
19．解　由题意有|a|＝＝2，
|b|＝＝1．
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b．
∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0．
化简得k＝．
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－．
即t＝－2时，有最小值为－．
20．解　设＝t，t∈[0,1]，则＝(6t,3t)，
即M(6t,3t)．＝－＝(2－6t,5－3t)，
＝－＝(3－6t,1－3t)．
若MA⊥MB，
则·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0．
即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝．
∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或．
21．解　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0．
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0．(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．
∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0．
解得：－7<t<－．
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
对比系数得，∴
∴所求实数t的取值范围是
∪．
22．

证明　如右图所示，
∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)．
∴＝－
＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b．
＝－＝nb－ma．
又P、G、Q三点共线，
所以存在一个实数λ，使得＝λ．
∴(－m)a＋b＝λnb－λma，
∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0．
∵a与b不共线，
∴
由①②消去λ得：＋＝3．

第三章　三角恒等变换(A) 答案

1．D　[(cos －sin )(cos ＋sin )
＝cos2 －sin2＝cos ＝．]
2．C　[y＝sin＝sin
＝cos x，当x＝π时，y＝－1．]
3．B　[sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，
∴sin α＋cos α＝．
两边平方，
∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－．]
4．B　[y＝sin－sin 2x
＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x
＝－sin
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝1，
且T＝π．故B项合适．]
5．A　[∵0<θ<，∴θ＋∈，
又sin θ＋cos θ＝sin，
所以<sin≤1，
1<sin θ＋cos θ≤．]
6．B　[sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)
＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)
＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)
＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)
＝－cos(73°＋47°)
＝－cos 120°＝．]
7．B　[∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，
∴tan θ＝－．]
8．C　[y＝sin x＋cos x＝sin
∴y＝sin x－cos x＝sin
＝sin．]
9．A　[a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°．
∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c<a<b．]
10．A　[∵A、B均为钝角sin A＝，sin B＝，
∴cos A＝－＝－＝－，
cos B＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝(－)×(－)－×
＝－＝．
∵<A<π，<B<π，
∴π<A＋B<2π，
∴A＋B＝π．]
11．A

　[tan β＝tan(π－θ1)
＝－tan θ1＝－2，
∴tan θ1＝2，tan θ2＝．
∴tan∠POQ＝＝－2，
∴<∠POQ<π．
∴cos∠POQ＝－．]
12．C　[＝m⊗＋n＝(2，)⊗(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π．]
13．1
解析　∵＝
＝tan 45°＝1，
∴＝1．
14．－
解析　∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α
∴2sin2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝或－1．
∵<α<π，∴sin α＝，
∴α＝π，∴tan α＝－．
15．＋1
解析　y＝2sin2x＋2sin xcos x
＝1－cos 2x＋sin 2x
＝sin(2x－)＋1，
∴ymax＝＋1．
16．1
解析　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β
∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)
∵α、β均为锐角，
∴sin β＋cos β≠0，
∴cos α＝sin α，∴tan α＝1．
17．解　∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1．
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝．
18．解　(1)f()＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－．
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R．
由于cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－．
19．解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0．
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0．
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0．
解之，得tan α＝－，或tan α＝．
∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－．
(2)∵α∈，∴∈．
由tan α＝－，
求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
cos＝cos cos －sin sin
＝－×－×
＝－．
20．解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．
21．解　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为π．
由于f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1．
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．
由于f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝．
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，
从而cos(2x0＋)＝－＝－．
所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－]
＝cos(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝．
22．解　(1)tan α＝＝，
所以＝．又由于sin2α＋cos2α＝1,0<α<，
所以sin α＝．
(2)由于0<α<<β<π，所以0<β－α<π．
由于cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝．
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝．
由于β∈，
所以β＝．

第三章　三角恒等变换(B) 答案

1．D　[原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1．]
2．D　[f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)
＝－cos 2x，
∴T＝＝π，f(x)为偶函数．]
3．A　[∵α∈(，π)，sin α＝，
∴cos α＝－，
tan α＝＝－．
∴tan(α＋)＝＝＝．]
4．D　[f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
令k＝0得－≤x≤．
由此可得[－，0]符合题意．]
5．B　[原式＝＝
＝sin 60°＝．]
6．C　[f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2x2＋2，
∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x．]
7．B　[f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)
＝sin(x＋)－acos(＋x)
＝sin(x＋－φ)
∴f()＝sin ＋asin
＝a＋＝．
解得a＝．]
8．B　[y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin(2x－)＋，
∵x∈R，
∴－1≤sin(2x－)≤1，
∴y∈[－＋，＋]．]
9．B　[∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝．
cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ
＝
＝＝＝．]
10．C　[3cos(2α＋β)＋5cos β
＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，
∴tan(α＋β)tan α＝－4．]
11．D　[cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，
∴tan θ＝＝＝．
∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．]
12．D　[∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0．
∴tan θ＝－．∴θ＝kπ－，(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin 2x．
∵f(x)在[－，0]上为减函数，
∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝．]
13．
解析　∵f(x)＝[1－cos(4x－)]
＝－sin 4x
∴T＝＝．
14．1
解析　∵sin αcos β＝1，
∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，
∴cos α＝sin β＝0．
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1．
15．
解析　cos β＝－，sin β＝，
sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，
故cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝(－)×(－)＋×＝．
16．1
解析　令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，
∴y＝sin α＋cos(α＋30°)
＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°
＝sin α＋cos α
＝sin(α＋60°)．
∴ymax＝1．
17．解　(1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)
⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝．
＝＝－．
(2)∵cos α＝－，sin α＝⇒sin 2α＝－，cos 2α＝－．
cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－．
18．解　(1)原式＝sin 2x＋cos 2x
＝2(sin 2x＋cos 2x)
＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )
＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)的最小正周期为π．
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2．
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2．
(3)要使f(x)递增，必需使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
19．解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos x|，
∵x∈[－，]，∴cos x>0，
∴|a＋b|＝2cos x．
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝2(cos x－)2－．
∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1．
20．解　(1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，
即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝．
又B为△ABC的内角，
∴B＝60°．
(2)∵cos θ＝＝－，
∴sin θ＝．
∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝．
21．解　(1)由题意，得m·n＝0，所以
f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋
＝sin(2ωx＋)＋．
依据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π．
又ω>0，所以ω＝．
(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，所以f(α＋)
＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝．
解得cos α＝．
由于α是第一象限角，故sin α＝．
所以＝＝
＝＝－．
22．解　(1)由于f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，
所以＝cos(2×－φ)，
即cos(－φ)＝1，
又0<φ<π，所以φ＝．
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
由于x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，
故－≤cos(4x－)≤1．
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－．