2021届高考数学总复习课时训练:第9章-平面解析几何第4课时-圆-的-方-程-.docx
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第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程 1. 已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是__. 答案:(x-2)2+(y+3)2=13 解析:由题意可知一条直径的两个端点分别为(4,0)和(0,-6),则直径长为=2,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 2. 圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4)、B(0,-2)两点,则圆C的方程为____. 答案:(x-2)2+(y+3)2=5 解析:圆心既在线段AB的垂直平分线即y=-3上,又在2x-y-7=0上,即圆心坐标为(2,-3),r=. 3. 已知点A是Rt△ABC的直角顶点,且A(a,2),B(-4,a),C(a+1,1),则△ABC的外接圆的方程是__. 答案:(x+2)2+y2=5 解析:kAB=,kAC=-1.∵ AB⊥AC,∴ kAB·kAC=·(-1)=-1,解得a=-1.∴ △ABC的外接圆是以B(-4,-1),C(0,1)为直径的圆,∴所求圆的方程是(x+2)2+y2=5. 4. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是__. 答案:(x-2)2+(y-1)2=1 解析:依题意设圆心C(a,1)(a>0),由圆C与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2,则圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 5. 假如三角形三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为____________. 答案:(x+3)2+(y-3)2=9 解析:由于△AOB是直角三角形,所以内切圆半径为r===3,圆心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x+3)2+(y-3)2=9. 6. 已知x、y满足x2+y2=1,则的最小值为________. 答案: 解析:表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由=1得k=,结合图形可知,≥,故最小值为. 7. 由直线y=x+2上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当PT最小时,点P的坐标是________. 答案:(0,2) 解析:依据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系,可知PT=,故PT最小时,即PC最小,此时PC垂直于直线y=x+2,则直线PC的方程为y+2=-(x-4),即y=-x+2,联立方程解得点P的坐标为(0,2). 8. 在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________. 答案:10 解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是,且点E(0,1)位于该圆内,故过点E(0,1)的最短弦长BD=2=2(注:过圆内确定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即AC=2,且AC⊥BD,因此四边形ABCD的面积为AC×BD=×2×2=10. 9. 已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且CD=4. (1) 求直线CD的方程; (2) 求圆P的方程. 解:(1) 直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2). 则直线CD的方程为y-2=-(x-1), 即x+y-3=0. (2) 设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.① 又∵ 直径CD=4,∴ PA=2, ∴ (a+1)2+b2=40.② 由①②解得或 ∴ 圆心P(-3,6)或P(5,-2). ∴ 圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40. 10. 已知圆x2+y2=4上确定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P、Q为圆上的动点. (1) 求线段AP中点的轨迹方程; (2) 若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程. 解:(1) 设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). 由于P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2) 设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,PN=BN,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以OP2=ON2+PN2=ON2+BN2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 11. 已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点,与y轴交于O、B两点,其中O为原点. (1) 求证:△OAB的面积为定值; (2) 设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N,若OM=ON,求圆C的方程. (1) 证明:∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+2=t2+ .令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA×OB=××|2t|=4,即△OAB的面积为定值. (2) 解:∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段是MN.∵kMN=-2,∴koc=,∴直线OC的方程是y=x . ∴=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=>,圆C与直线y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合题意故舍去. ∴圆C的方程为 (x-2)2+(y-1)2=5 .- 配套讲稿:
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