2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分23-解三角形应用举例.docx

开卷速查(二十三)解三角形应用举例A级基础巩固练1一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D.20海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，依据正弦定理得，解得BC10(海里)，故选A.答案：A2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2，连续在水平地面上前进300 m后，测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A300 mB.450 mC300 mD.600 m解析：如图所示，易知，在ADE中，DAE2，ADE1804，AD300 m，由正弦定理，得，解得cos2，则sin2，sin4，所以在RtABC中山峰的高度h300sin4300450(m)答案：B3要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 mB.400 mC200 mD.500 m解析：由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解得h500(m)答案：D4如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan等于()A. B.C. D.解析：由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos，所以sin，所以tan.答案：A52021辽宁丹东模拟如图所示，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos等于()A.B.2C.1 D.解析：在ABC中，由正弦定理可知，BC50()在BCD中，sinBDC1.由题图知，cossinADEsinBDC1.答案：C6如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B.45C60D.75解析：依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案：B7在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为_千米解析：由已知条件CAB75，CBA60，得ACB45.结合正弦定理，得，即，解得AC(千米)答案：8如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8n mile，BSA45，由正弦定理，得，v32 n mile/h.答案：329某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_m.解析：过点D作DEAC交BC于E，由于DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin45500(1)(m)答案：500(1)10已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船B级力气提升练11某城市有一块不规章的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建筑一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座外形分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.(1)求AB的长度；(2)若建筑环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建筑费用最低？请说明理由解析：(1)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC16210221610cosC，在ABD中，由余弦定理及CD，整理得AB2AD2BD22ADBDcosD1421422142cosC.由得：1421422142cosC16210221610cosC，整理得cosC.C为三角形的内角，C60.又CD，ADBD，ABD是等边三角形，故AB14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计使建筑费用最低理由如下：SABDADBDsinD，SABCACBCsinC.ADBDACBC，且sinDsinC，SABDSABC.由已知建筑费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建筑费用最低12如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？解析：(1)在ABC中，由于cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得ABsinC1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙动身t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsinA500(m)乙从B动身时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应把握在(单位：m/min)范围内