2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算.docx

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课时提升作业(二十五)
一、选择题
1.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含边界）．设且点P落在第III部分，则实数m,n满足
( )

（A）m>0,n>0 （B）m>0,n<0
（C）m<0,n>0 （D）m<0,n<0
2.(2022·安徽高考)在平面直角坐标系中，O（0，0），P（6，8），将向量按逆时针旋转后，得向量则点Q的坐标是( )
(A) (B)
(C) (D)
3.（2021·梅州模拟）在□ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对称中心为O，则等于( )
（A） （B）
（C） （D）
4.若α,β是一组基底，向量γ=x α+y β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α,β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为
(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
（A）(2,0) （B）(0，－2)
（C）(－2,0) （D）(0,2)
5．如图所示，已知则下列等式中成立的是( )

（A） （B）c=2b-a
（C）c=2a-b （D）
6.（2021·佛山模拟）已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)且p∥则k的值为( )
（A） （B）
（C） （D）
7.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论：
①若e1与e2不共线,a与b共线，则k=-2；
②若e1与e2不共线,a与b共线，则k=2；
③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线；
④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.
其中正确结论的个数是( )
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
8.（力气挑战题）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，
B(－1,3)，若点C满足其中α，β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为( )
（A）(x－1)2＋(y－2)2＝5
（B）3x＋2y－11＝0
（C）2x－y＝0
（D）x＋2y－5＝0
9.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若则x+y等于
( )

（A） （B）
（C） （D）
10.（2021·汕头模拟）已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,
(a+λb)∥c，则λ=( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为_________.
12.如图，在□ABCD中， M是BC的中点，则=_________（用a,b表示）.
13．（2021·珠海模拟）已知向量a=(1,3),b=(3,n)，若2a-b与b共线，则实数n=_________.
14．（力气挑战题）给定两个长度为1的平面对量和它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中x，y∈R，则x＋y的最大值为_________．
三、解答题
15．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c.
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

答案解析
1.【解析】选B.由题意及平面对量基本定理易得在中m>0,n<0，故选B．
2.【解析】选A.方法一：设=（10cos θ,10sin θ）⇒
则
方法二：将向量=（6，8）按逆时针旋转后得=（8，-6），则
3.【解析】选B.
4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，
设a=λm+μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，
则由解得
∴a=0m+2n，
∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).
5．【解析】选A.由得所以即
6.【解析】选D.＝(2,5)，由p∥得5(2k－1)－2×7＝0，所以
7.【解析】选B.(1)若a与b共线，即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线,
∴解得k=-2.故①正确，②不正确.
（2）若e1与e2共线,则e2=λe1,有
∵e1,e2,a,b为非零向量,∴λ≠2且λ≠-k,
即这时a与b共线,
∴不存在实数k满足题意.故③不正确，④正确.
综上，正确的结论为①④.
8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标，故设C(x，y)，依据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α，β，x，y的关系式，消去α，β即可得解．
【解析】选D.设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)．由得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．
于是
由③得β＝1－α代入①②，消去β得
再消去α得x＋2y＝5，
即x＋2y－5＝0.
【一题多解】由平面对量共线定理，得当α＋β＝1时，A，B，C三点共线．
因此，点C的轨迹为直线AB，
由两点式求直线方程得
即x＋2y－5＝0.
9.【解析】选B.以AB所在的直线为x轴，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图，

令AB＝2，则＝(2,0)，＝(0,2)，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，由已知得DE=BC==2BE,∴则
＝(2x,2y)．
即有解得即
【一题多解】由题意得
所以即
10.【解析】选C.由题知a+λb=(1+λ,2).
∵a+λb∥c，
∴4（1+λ）-2×3=0，
∴故选C.
11．【解析】设D点的坐标为(x，y)，由题意知
即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，
∴D(0，－2).
答案：(0，－2)
12.【解析】由题意知

答案：
13．【解析】由于2a-b=(-1,6-n)且(2a-b)∥b，所以3(6-n)-n×(-1)=0，所以n=9.
答案：9
14．【思路点拨】建立坐标系，将A,B,C三点的坐标表示出来，转化为三角函数的学问解决.
【解析】　以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，设C(cos α，sin α)(α∈［0，］)，则有
所以所以当时，x＋y取得最大值为2.
答案：2
15．【解析】(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
解得
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，

【变式备选】已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量共线．
(2)当两向量与共线时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
【解析】(1) ＝(x,1)，＝(4，x)．
∵，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
∴当x＝±2时，
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
∴此时A，B，C三点共线，
从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A，B，C，D四点不共线．
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