2022届高考数学(文科人教A版)大一轮单元评估检测(四)第四章-.docx

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单元评估检测(四)
第四章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在复平面内复数(1-i)4的对应点位于(　　)
A.第一象限 B.实轴
C.虚轴 D.第四象限
【解析】选B.由(1-i)4=(-2i)2=-4,故位于实轴上.
2.(2021·泉州模拟)在△ABC中,有如下三个命题:
①AB→+BC→+CA→=0;②若D为BC边中点,则AD→=12(AB→+AC→);③若(AB→+AC→)·(AB→-AC→)=0,则△ABC为等腰三角形.其中正确命题的序号是(　　)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】选D.对于①,AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=0,所以①正确;②明显正确;对于③,(AB→+AC→)·(AB→-AC→)=AB→  22-AC→  22=|AB→|2-|AC→|2=0,即|AB→|=|AC→|,所以③正确,故选D.
3.(2021·重庆模拟)已知向量|a|=2,|b|=3,且a·b=3,则a与b的夹角
为(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.以上都不对
【解析】选A.设a与b的夹角为θ,
则cosθ==32×3=32.
又由于0≤θ≤π,所以θ=π6.
4.(2021·日照模拟)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足
AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→,λ∈R.若BQ→·CP→=-2,则λ=(　　)
A.13 B.23 C.43 D.2
【解析】

选B.如图,以A点为原点,以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建系.
则B(1,0),C(0,2),A(0,0),
由AP→=λAB→得P(λ,0).
由AQ→=(1-λ)AC→得Q(0,2-2λ),
故BQ→=(-1,2-2λ),CP→=(λ,-2).
故BQ→·CP→=-λ-2(2-2λ)=3λ-4=-2.
解得λ=23.
5.(2021·贵阳模拟)已知△ABC中,AB→=a,AC→=b,a·b<0,S△ABC=154,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.120°
C.150° D.30°或150°
【解析】选C.S△ABC=12|AB→||AC→|sinA
=12|a||b|sinA=12×3×5sinA=154,
所以sinA=12.
又a·b<0,所以A为钝角,所以A=150°.
6.定义运算a　bc　d=ad-bc,则符合条件=0的复数z对应的点
在(　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.其次象限 D.第一象限
【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再推断其对应点所在象限.
【解析】选D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,所以z(1-i)=5,
设z=x+yi(x,y∈R),所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,
(x+y)+(y-x)i=5,x+y=5,y-x=0,解得x=52,y=52.
由于x=y=52>0,所以复数z对应的点在第一象限.
7.(2021·杭州模拟)设a,b是两个非零向量(　　)
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
【解析】选C.利用排解法可得选项C是正确的.由于|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时明显|a+b|=|a|-|b|不成立.
8.如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:

①AC→+AF→=2BC→;
②AD→=2AB→+2AF→;
③AC→·AD→=AD→·AF→;
④(AD→·AF→)EF→=AD→(AF→·EF→).
其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.AC→+AF→=AC→+CD→=AD→=2BC→,
故①对;
取AD的中点O,则AD→=2AO→=2AB→+2AF→,故②对;
设|AB→|=1,则AC→·AD→=3×2×cosπ6=3,
而AD→·AF→=2×1×cosπ3=1,故③错;
设|AB→|=1,则|AD→|=2,
(AD→·AF→)EF→=(2×1×cos60°)EF→=EF→.
AD→(AF→·EF→)=AD→(1×1×cos120°)=-12AD→=EF→,故④正确.
综上,正确结论为①②④,故选C.
9.给出下列命题:
p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
q:∃x∈R,使得log2(x+1)<0;
r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中全部真命题是(　　)
A.q B.p C.p,r D.p,q
【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-
cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0<x+1<1,即-1<x<0时,log2(x+1)<0,故命题q正确;a+b=(λ-1,λ2+1),故(a+b)∥c的充要条件为
λ-1=-(λ2+1),解得λ=-1或λ=0,故命题r不正确.
10.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=32,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为(　　)
A.π3 B.π2 C.2π3 D.56π
【解题提示】依据e1·e2=32求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,依据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角.
【解析】选B.设e1,e2的夹角为α,
则e2与-e1的夹角为π-α,
由题意,得|e1|=|e2|=1,
所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=32,
故α=π6,π-α=56π,
所以f(e1,e2)=e1cosπ6-e2sinπ6=32e1-12e2,
f(e2,-e1)=e2cos56π-
=12e1-32e2,
f(e1,e2)·f(e2,-e1)

=34-e1·e2+34
=32-32=0.
所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为π2.
【方法技巧】平面对量的数量积的运算技巧
(1)平面对量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特殊要留意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2021·济南模拟)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,则a·b=　　　　.
【解析】由于a∥b,所以-4-2x=0,即x=-2,所以a·b=1×(-2)+2×(-4)=-10.
答案:-10
12.设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a的值为　　　　.
【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i,
由(a+i)2i为正实数得-2a>0,a2-1=0,解得a=-1.
答案:-1
13.(2021·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为　　　　.
【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,
由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=12,y=1时等号成立.
答案:6
14.(2021·南平模拟)已知平面对量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=　　　　.
【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,
所以α·β=12,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×12=10,所以|2α+β|=10.
答案:10
【方法技巧】平面对量的数量积的运算技巧
(1)平面对量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特殊要留意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.
15.在△ABC中设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(cosC,2a-c),n=(b,-cosB),且m·n=0,则B=　　　　.
【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0,
即b·a2+b2-c22ab=(2a-c)·a2+c2-b22ac,
整理得ac=a2+c2-b2,
又cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.
又由于0<B<π,所以B=π3.
答案:π3
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知AB→=(6,1),BC→=(x,y),CD→=(-2,-3),
(1)若BC→∥DA→,求x与y之间的关系式.
(2)在(1)的前提下,若AC→⊥BD→,求向量BC→的模的大小.
【解析】(1)AD→=AB→+BC→+CD→=(x+4,y-2).
由于BC→∥DA→,所以x(2-y)-y(-x-4)=0,所以x+2y=0.
(2)AC→=(x+6,y+1),BD→=(x-2,y-3).
由于AC→⊥BD→,所以AC→·BD→=0,
所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
又由于x+2y=0,
所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.
即y2-2y-3=0,解得y=3或y=-1.
即BC→=(-6,3)或BC→=(2,-1),所以|BC→|=35或|BC→|=5.
17.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量BA→对应的复数为1+2i,向量BC→对应的复数为3-i.
(1)求点C,D对应的复数.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.
【解析】(1)设点O为原点,由于向量BA→对应的复数为1+2i,向量BC→对应的复数为3-i,
所以向量AC→对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又OC→=OA→+AC→,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又BD→=BA→+BC→=(1+2i)+(3-i)=4+i,
OB→=OA→-BA→=2+i-(1+2i)=1-i,
所以OD→=OB→+BD→=1-i+(4+i)=5,
所以点D对应的复数为5.
(2)由(1)知BA→=(1,2),BC→=(3,-1),
由于BA→·BC→=|BA→||BC→|cosB,
所以cosB=BA→·BC→|BA→||BC→|=3-25×10=152,
所以sinB=752,
又|BA→|=5,|BC→|=10,
所以面积S=|BA→||BC→|sinB=5×10×752=7.
所以平行四边形ABCD的面积为7.
18.(12分)(2021·兰州模拟)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积
a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足OQ→=m⊗OP→+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.
【解题提示】设出Q点坐标,与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.
【解析】设Q(x,y),P(x1,y1),则由已知可得
(x,y)=2,12⊗(x1,y1)+π3,0
=2x1,12y1+π3,0
=2x1+π3,12y1.
故x=2x1+π3,y=12y1即x1=12x-π6,y1=2y.
又由于P点在y=sinx上,故2y=sin12x-π6,
故f(x)=12sin12x-π6,
由于x∈R,故-12≤f(x)≤12.
19.(12分)已知向量a=(sinωx,cosωx),b=(cosωx,3cosωx)(ω>0),函数f(x)=a·b-32的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)假如△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且满足b2+c2=a2+3bc,求f(A)的值.
【解析】(1)f(x)=a·b-32
=sinωxcosωx+3cos2ωx-32
=12sin2ωx+32cos2ωx=sin2ωx+π3.
由于f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
所以2π2ω=π,即ω=1,故f(x)=sin2x+π3.
由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得f(x)的增区间为-512π+kπ,π12+kπ(k∈Z).
(2)由b2+c2=a2+3bc,所以b2+c2-a2=3bc,
又由cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,
所以在△ABC中,A=π6,
所以f(A)=sin2×π6+π3=sin2π3=32.
20.(13分)(2021·福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且
0<α<π.
(1)若|OA→+OC→|=7,求OB→与OC→的夹角.
(2)若AC→⊥BC→,求tanα的值.
【解析】(1)由于|OA→+OC→|=7,
所以(2+cosα)2+sin2α=7,
所以cosα=12.
又由于α∈(0,π),所以α=∠AOC=π3,
又由于∠AOB=π2,
所以OB→与OC→的夹角为π6.
(2)AC→=(cosα-2,sinα),BC→=(cosα,sinα-2).
由于AC→⊥BC→,所以AC→·BC→=0,
所以cosα+sinα=12,　①
所以(cosα+sinα)2=14,所以2sinαcosα=-34.
又由于α∈(0,π),所以α∈π2,π.
由于(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα
=74,cosα-sinα<0,
所以cosα-sinα=-72.　②
由①②得cosα=1-74,sinα=1+74,
所以tanα=-4+73.
21.(14分)(2021·东营模拟)已知m=(3sinx,2cosx),n=(2cosx,-cosx),函数f(x)=m·n-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴的方程.
(2)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,f(A)=0,求b+c的取值范围.
【解析】(1)f(x)=3sin2x-2cos2x-1=3sin2x-cos2x-2=2sin2x-π6-2.
故f(x)的最小正周期为π,
由2x-π6=kπ+π2(k∈Z)得对称轴的方程为x=12kπ+π3,k∈Z.
(2)由f(A)=0得2sin2A-π6-2=0,
即sin2A-π6=1,
由于-π6<2A-π6<11π6,所以2A-π6=π2,所以A=π3.
方法一:由正弦定理得b+c=23(sinB+sinC)
=23sinB+sin2π3-B=2sinB+π6.
由于A=π3,所以B∈0,2π3,B+π6∈π6,5π6,
所以sinB+π6∈12,1,所以b+c的取值范围为(1,2].
方法二:由余弦定理得a2=b2+c2-bc,a=1,
所以b2+c2=bc+1,
所以(b+c)2=1+3bc≤1+3·(b+c)24,解得b+c≤2,
又b+c>1,所以b+c的取值范围为(1,2].
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