江苏省宿迁市2013—2020学年高一数学(苏教版)暑期作业及答案(13):不等式综合.docx
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高一数学暑假作业十三(不等式综合) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.不等式>0的解集是________. 2.函数f(x)=的定义域为________. 3.函数y=的定义域为________. 4.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,则a的取值范围是________. 5.若0≤x≤1,0≤y≤2,且2y-x≥1,则z=2y-2x+4的最小值为________. 6.已知x>0,y>0,M=+,N=,则M______N. 7.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-<x<},则a-b的值为________. 8.不等式x2-px-q<0的解集是{x|2<x<3},则不等式qx2-px-1>0的解集是________. 9.已知方程x2+2x+2a=0和x2+2(2-a)x+4=0有且只有一个方程有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是________. 10.已知log2(x+y)=log2x+log2y,则x+y的取值范围是________. 11.下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b>0,能使不等式+≥2成立的是________. 12.函数y=ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为________. 13.在周长为定值L的扇形中,圆心角为________弧度时,扇形的面积最大. 14.不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是________. 二、解答题(本大题共6小题,共90分) 15.(本小题满分14分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0. 16.(本小题满分14分)已知a,b,c,d∈R,求证: ac+bd≤. 17.(本小题满分14分)已知甲,乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地,东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨.甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少? 18.(本小题满分16分)(1)设0<x<2,求函数y=的最大值; (2)求+a(a<4)的取值范围; (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求+的最小值. 19.(本小题满分16分)某种商品定价为每件60元,不征收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税x元(即税率为x%),因此每年的销售量将削减x万件. (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成x的函数,并指出这个函数的定义域; (2)要使政府在此项经营中每年征收的税金不少于128万元,则税率x%应怎样确定? (3)在所收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获最大销售金额,应如何确定x的值? 20.(本小题满分16分)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集. 高一数学暑假作业十三(不等式综合)答案 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.不等式>0的解集是________. 解析 >0⇔(2x-1)(3x+1)>0⇔x<-或x>. 答案 {x|x<-或x>} 2.函数f(x)=的定义域为________. 解析 依题意有 ⇒ ∴定义域为(1,2)∪(2,3). 答案 (1,2)∪(2,3) 3.函数y=的定义域为________. 解析 依题意有: 解得-≤x<0或<x≤1. 答案 [-,0)∪(,1] 4.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,则a的取值范围是________. 解析 由题意可得(-a)·(2-a)<0,解0<a<2 答案 (0,2) 5.若0≤x≤1,0≤y≤2,且2y-x≥1,则z=2y-2x+4的最小值为________. 解析 由已知作出可行域(如答图) 由z=2y-2x+4得y=x-2+. 当x=0,y=2时,zmin=8. 当x=1,y=1时,zmin=4. 答案 4 6.已知x>0,y>0,M=+,N=,则M______N. 解析 M-N=+-= =, 又x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0 ∴M-N≥0,M≥N. 答案 ≥ 7.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-<x<},则a-b的值为________. 解析 由已知得解得 ∴a-b=-10. 答案 -10 8.不等式x2-px-q<0的解集是{x|2<x<3},则不等式qx2-px-1>0的解集是________. 解析 由已知得即 ∴不等式qx2-px-1>0为-6x2-5x-1>0, 即6x2+5x+1<0. ∴-<x<-. 答案 {x|-<x<-} 9.已知方程x2+2x+2a=0和x2+2(2-a)x+4=0有且只有一个方程有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是________. 解析 依题意列不等式组 得0≤a<, 或得a>4. 所以实数a的取值范围为{a|0≤a<或a>4}. 答案 0≤ a<或a>4 10.已知log2(x+y)=log2x+log2y,则x+y的取值范围是________. 解析 由已知x>0,y>0,x+y=xy, 又∵xy≤()2(当且仅当x=y时等号成立), ∴-(x+y)≥0, ∴x+y≤0或x+y≥4,但x>0,y>0,故x+y≥4. 答案 [4,+∞) 11.下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b>0,能使不等式+≥2成立的是________. 解析 依题意,只需a、b同号,故应填①③. 答案 ①③ 12.函数y=ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为________. 解析 由题知A(1,1),∴m+n=1,m,n>0. ∴+=+=2++≥4, 当且仅当m=n=时,取“=”号. 答案 4 13.在周长为定值L的扇形中,圆心角为________弧度时,扇形的面积最大. 解析 设半径为R,则扇形的面积S扇形=R(L-2R)=·2R(L-2R)≤()2=. 当且仅当2R=L-2R即=2时,扇形面积有最大值,故填2. 答案 2 14.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是________. 解析 不等式表示的平面区域是如图所示阴影部分(即△ABC),由得A(1,1), 又B(0,4),C; ∴S△ABC=××1=, 设y=kx与3x+y=4的交点为D, 则由S△BCD=S△ABC=知xD=,∴yD=, ∴=k×+,解得k的值是. 答案 二、解答题(本大题共6小题,共90分) 15.(本小题满分14分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0. 解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0, 即<0. ①当-<,即a>0时,-<x<; ②当-=,即a=0时,原不等式解集为∅; ③当->,即a<0时,<x<-. 综上知,当a>0时,原不等式的解集为; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为. 16.(本小题满分14分)已知a,b,c,d∈R,求证: ac+bd≤. 证明 证法一 (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 , ∴≥|ac+bd|≥ac+bd,故命题得证. 证法二 ∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0, ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, ∴≥|ac+bd|≥ac+bd, 即ac+bd≤. 17.(本小题满分14分)已知甲,乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地,东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨.甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少? 解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤,乙煤矿向东车站运y万吨煤,那么总运费z=x+1.5(200-x)+0.8y+ 1.6(300-y)(万元)即:z=780-0.5x-0.8y x、y应满足 作出上面的不等式组所表示的平面区域. 设直线x+y=280与y=260的交点为M, 则M(20,260);把直线l:0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时,z的值最小. 答:甲煤矿向东车站运20万吨,向西车站运180万吨, 乙煤矿生产的煤全部运往东车站,总运费最少. 18.(本小题满分16分)(1)设0<x<2,求函数y=的最大值; (2)求+a(a<4)的取值范围; (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求+的最小值. 解 (1)∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0, ∴y=≤==4, 当且仅当3x=8-3x,即x=时,取等号. ∴当x=时,y=有最大值4. (2)当a<4时,a-4<0, ∴+a=+(a-4)+4 =-+4 ≤-2+4=-2+4, 当且仅当=(4-a),即a=4-时,取等号. ∴+a的取值范围是(-∞,-2+4]. (3)∵x>0,y>0,且x+y=1, ∴+=(x+y)=10++ ≥10+2=18. 当且仅当=,即x=2y时,等号成立, ∴当x=,y=时,+有最小值18. 19.(本小题满分16分)某种商品定价为每件60元,不征收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税x元(即税率为x%),因此每年的销售量将削减x万件. (1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成x的函数,并指出这个函数的定义域; (2)要使政府在此项经营中每年征收的税金不少于128万元,则税率x%应怎样确定? (3)在所收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获最大销售金额,应如何确定x的值? 解 (1)y=(80-x)·60·x%=-4x2+48x, 且 ∴0<x<12, 即定义域为(0,12). (2)由y≥128,得-4x2+48x≥128, 解得4≤x≤8, 即税率x%∈[4%,8%]. (3)销售金额S(x)=(80-x)·60=4 800-400x,x∈[4,8]. ∵S(x)在[4,8]上是减函数. ∴当x=4时,S(x)max=3 200(万元). 答案 (1)y=-4x2+48x,定义域为(0,12) (2)x%∈[4%,8%] (3)x=4时,销售金额最大 20.(本小题满分16分)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集. 解 本题的关键是f(x)表达式中的确定值怎样处理,可考虑用分段函数表示f(x),解题思路为: (1)f(0)≥1,即为-a|a|≥1,解得a的取值范围是a≤-1, (2)x∈(a,+∞)时,h(x)≥1得3x2-2ax+a2-1≥0,即h(x)≥1为一元二次不等式,画出函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞)即h(x)=3(x-)2+(x>a)的图象,观看图象写出不等式h(x)≥1的解集.但由于h(x)=3(x-)2+(x>a)的图象与直线y=1的交点状况由方程3x2-2ax+a2-1=0是否有根、以及有根时根是否在区间(a,+∞)内打算;故要分类争辩. ∵方程3x2-2ax+a2-1=0的Δ=4a2-12(a2-1)=12-8a2,当-<a<时,Δ>0; 故a要与-,比较大小,分类争辩. 又Δ>0时,方程3x2-2ax+a2-1=0的根为,这两个根是否在区间(a,+∞)内,即要比较它们与a的大小关系,由于=a,=a解得a=±,故a要与-,比较大小,分类争辩. 综上,分以下状况写出不等式h(x)≥1的解集: 当a∈(-∞,-]∪[,+∞)时,解集为(a,+∞); 当a∈(-,-)时, 解集为(a,]∪[,+∞); 当a∈[-,)时,解集为[,+∞).- 配套讲稿:
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