2021高考数学(福建-理)一轮作业：2.4-二次函数与幂函数.docx

§2.4 二次函数与幂函数
一、选择题
1. 幂函数的图象是（ ）

答案　A
2.已知幂函数的图象经过点(2,4),则的解析式为( )
A. B. C. D.

答案　B
3．设f(x)＝则f(f(5))＝(　　)．
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析　由于函数f(x)＝所以f(f(5))＝f[log2(5－1)]＝f(2)＝22－2＝1.
答案　B
4．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为(　　)．
A．2 B. C. D．0
解析　由x≥0，y≥0
x＝1－2y≥0知0≤y≤
t＝2x＋3y2＝2－4y＋3y2＝32＋
在上递减，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.
答案　B
5．二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：由题意f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a为偶函数，
所以2－a＝0，a＝2.
答案：D
6.设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a
答案：A
7 .函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推想，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不行能是(　　)．
A．{1,2} B．{1,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}
解析　设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.
而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.
答案　D
二、填空题
8．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．

解析：∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，
∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，
∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m>0.
答案：(0，＋∞)
9．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析　由已知条件当m＝0，或时，函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m≤.
答案　
10．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由题意知即
解得<k<.
答案：(，)
11．已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.
解析　由题意，设y＝f(x)＝xα，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.
答案　±1
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
解析　作出函数y＝f(x)的图象如图．
则当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．

答案　(0,1)
三、解答题
13．已知函数f(x)＝－xm且f(4)＝－，
(1)求m的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析：(1)f(4)＝－4m＝－，∴4m＝4.
∴m＝1.故f(x)＝－x.
(2)由(1)知，f(x)＝2·x－1－x，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，
又y＝x－1，y＝－x均为减函数，
故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f(x)均为减函数．
∴f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
14．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)>－2x的解集为{x|1<x<3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．
解　设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a<0)，
则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，
f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0
16a2＋16a＋4－36a2＝0,20a2－16a－4＝0
5a2－4a－1＝0，(5a＋1)(a－1)＝0，
解得a＝－，或a＝1舍去
因此f(x)的解析式为f(x)＝－(x－1)(x－3)．
15．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
解析：(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．
∵f(x)图象的对称轴是x＝－1，
∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.
∴f(x)＝x2＋2x.
又∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)
＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.
①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h(x)图象对称轴是x＝，
则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③当λ>－1时，同理则需≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．

16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围．
解　不等式ax2－2x＋2>0等价于a>，
设g(x)＝，x∈(1,4)，则
g′(x)＝
＝＝，
当1<x<2时，g′(x)>0，当2<x<4时，g′(x)<0，
g(x)≤g(2)＝，
由已知条件a>，
因此实数a的取值范围是.