山东省烟台市2020届高三上学期期末考试-理科数学Word版含答案.docx

高三期末自主练习
数 学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2、在递减等差数列中，若，则取最大值是n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3
3、右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分
别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4、设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5、设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：
① ② ③ ④
其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
6、在中，若的对边分别为，，则（ ）
A． B． C． D．或
7、函数的图象可能是（ ）

8、若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9、若点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10、已知直线过抛物线的焦点，交抛物线两点，且点到轴的距离相等，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
11、如图，为线段外一点，若Hong任意相邻两点的距离相等，，，用表示其结果为（ ）
A． B．
C． D．
12、定义在R上的函数，假如存在函数为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数，现有如下命题：
①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有很多个；
②函数为函数的一个承托函数；
③定义域和值域都是R的函数不存在承托函数。
其中正确命题的序号是：（ ）
A．① B．② C．①③ D．②③

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知，且，则
14、若满足约束条件，且目标函数的最大值是
15、对于，不等式成立，则实数的取值范围是
16、已知函数的图象，如图所示，
它与轴在原点相切，且轴与核黄素图象所围成的区域（如图
阴影部分）的面积为，则

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的的值。

18、（本小题满分12分）
如图，菱形中，平面平面，
.
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的大小。

19、（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，且过点的切线的斜率为。
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和。

20、（本小题满分12分）
近日，国家经贸委发出了关于深化开展增产节省运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业产品和42种滞销产品的参考名目，为此，一公司进行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中为整除），已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用）产品的销售价格定为元/件。
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；
（2）促销费用投入多少元时，厂家的利润最大。

21、（本小题满分13分）
已知函数
（1）若曲线在和处的切线相互平行，求的值及函数的单调区间；
（2）设，若对任意，均存在，使，其实数的取值范围。

22、（本小题满分13分）
椭圆与双曲线有公共的焦点，过椭圆的右焦点作任意直线，设直线交抛物线于两点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上第一象限内的点，点关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，线段与x轴相交于点，点为的中点，若直线与椭圆的另一个交点为，试推断直线是否相互垂直？并证明你的结论。

数学（理）答案
一、选择题：DDBDC DBDBC BA
二、填空题：13. 14. 13 15. 16.
三、解答题：
17. 解：（1）
．
所以的最小正周期为．……………… 6分
（2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
．
时，，
当，即时， 取得最大值2；………… 9分
当，即时， 取得最小值．…………12分
18. （1）证明：连接、，设，
∵为菱形，∴，以为原点，，为、轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系（图1），………… 2分
则，
，，………4分
∴ ，，∴，，
又，∴⊥平面.………6分
（2）由知（1）是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
,由 ,
得：，……… 8分
取，得，于是
<,>………10分
但二面角——为锐二面角，
故其大小为. …………12分
19.解：（1）点都在函数的图像上，
．……………… 2分
当时，
当时，满足上式，
所以数列的通项公式为 ……………… 6分
（2）由求导可得，
由于过点的切线的斜率为，，
，

两式相减得
………9分
．……………………… 12分
20.解：（1）由题意知， ，
将代入化简得：
（）. …………… 6分
（2），
当且仅当时，上式取等号. …………… 9分
当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时, 在上单调递增,
所以时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .
综上,当时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;
当时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大 .…… 12分
21.解：（1），
由得，…… 3分
所以：单调递增区间为，，
单调递减区间为. …………… 6分
（2）若要命题成立，只须当时，.
由可知， 当时,
所以只须.…………… 8分
对来说，，
①当时，
当时，明显，满足题意，
当时，令，
，所以递减，所以，满足题意，
所以满足题意；…………… 10分
②当时，在上单调递增，
所以得 ，…… 12分
综上所述， .…………… 13分
22.解：(1)设点,
设直线 ,代入并整理得
所以 ………………… 2分
故有

解得………………… 5分
又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有
所以椭圆的方程为 . ……………………… 7分
(2)
证明：设,则,且
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得
……………… 9分
由题意可知此方程必有一根
,
所以………… 12分
故有 , 即……………………… 13分