【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第12章-第5节-数学归纳法(理).docx
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第十二章 第五节 一、选择题 1.若f(n)=1+++…+(n∈N+),则f(1)为( ) A.1 B. C.1++++ D.非以上答案 [答案] C [解析] 等式右边的分母是从1开头的连续的自然数,且最大分母为6n-1,则当n=1时,最大分母为5,故选C. 2.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N+)成立,其初始值至少应取( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [答案] B [解析] 由Sn=>得n>7,又n∈N+, 所以n≥8. 3.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+____________( ) A. B.π C.π D.2π [答案] B [解析] 由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形,故f(k+1)=f(k)+π. 4.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,其次步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到( ) A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1 [答案] D [解析] 由条件知,左边是从20,21始终到2n-1都是连续的,因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应为2k+1-1. 5.对于不等式≤n+1(n∈N+),某人的证明过程如下: 1°当n=1时,≤1+1,不等式成立. 2°假设n=k(k∈N+)时不等式成立,即<k+1,则 n=k+1时,= <==(k+1)+1. ∴当n=k+1时,不等式成立. 上述证法( ) A.过程全都正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 [答案] D [解析] 本题的证明中,从n=k到n=k+1的推理没有用到归纳假设,所以本题不是用数学归纳法证题. 6.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是( ) A.6+6·7k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) [答案] D [解析] (1)当k=1时,明显只有3(2+7k)能被9整除. (2)假设当k=n(n∈N+)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,k=n+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立. 二、填空题 7.(2022·陕西高考)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 则f2022(x)的表达式为________. [答案] [解析] 考查归纳推理. f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))==, f3(x)=f(f2(x))==,…, f2022(x)=. 8.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当其次步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真. [答案] 2k+1 [解析] ∵n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立. 9.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时,从k到k+1,左边需要增加的代数式为________. [答案] 2(2k+1) [解析] 当n=k时左边的最终一项是2k,n=k+1时左边的最终一项是2k+2,而左边各项都是连续的,所以n=k+1时比n=k时左边少了(k+1),而多了(2k+1)(2k+2).因此增加的代数式是=2(2k+1). 三、解答题 10.(2022·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列{an}的通项公式. [解析] (1)a1=S1=2a2-3×12-4×1=2a2-7① a1+a2=S2=4a3-3×22-4×2=4(S3-a1-a2)-20=4(15-a1-a2)-20, ∴a1+a2=8② 联立①②解得,∴a3=S3-a1-a2=15-8=7, 综上a1=3,a2=5,a3=7. (2)由(1)猜想an=2n+1,以下用数学归纳法证明: ①由(1)知,当n=1时,a1=3=2×1+1,猜想成立; ②假设当n=k时,猜想成立,即ak=2k+1, ∴Sk=3k+×2=k2+2k, 又Sk=2kak+1-3k2-4k, ∴2kak+1-3k2-4k=k2+2k, ∴ak+1=2k+3, 即n=k+1时,有ak+1=2(k+1)+1成立. 由数学归纳法原理知,an=2n+1成立. 一、选择题 1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( ) A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2 [答案] D [解析] ∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2, 当n=k+1时, 左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2, ∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2. 2.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,其次件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形,第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,依据这种规律增加确定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( ) A.190 B.715 C.725 D.385 [答案] B [解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为:1,1+5,1+5+9,1+5+9+13,1+5+9+13+17,即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项,4为公差的等差数列的前n项和,通项an=4n-3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为=2n2-n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12+22+…+n2)-(1+2+…+n)=. 当n=10时,总数为715. 二、填空题 3.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是________. [答案] f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 [解析] ∵f(k)=12+22+…+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 4.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<f(n)(n≥2,n∈N+)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了________项. [答案] 2k [解析] 当n=k时为1+++…+, 当n=k+1时为1++…+++…+, 所以从n=k到n=k+1增加了2k项. 三、解答题 5.设f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+). (1)求x2,x3,x4的值; (2)归纳并猜想{xn}的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想. [解析] (1)x2=f(x1)=,x3=f(x2)===, x4=f(x3)==. (2)依据计算结果,可以归纳猜想出xn=. (3)证明:①当n=1时,x1==1, 与已知相符,归纳出的公式成立. ②假设当n=k(k∈N+)时,公式成立,即xk=, 那么,当n=k+1时, 有xk+1====, 所以,当n=k+1时公式也成立. 由①②知,对任意n∈N+,有xn=成立. 6.是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N+都成立,若存在,求出a、b、c并证明;若不存在,试说明理由. [解析] 假设存在a、b、c使12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N+都成立. 当n=1时,a(b+c)=1; 当n=2时,2a(4b+c)=6; 当n=3时,3a(9b+c)=19. 解方程组解得 证明如下: ①当n=1时,由以上知存在常数a,b,c使等式成立. ②假设n=k(k∈N+)时等式成立, 即12+22+32+…+k2+(k-1)2+…+22+12 =k(2k2+1); 当n=k+1时, 12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12 =k(2k2+1)+(k+1)2+k2 =k(2k2+3k+1)+(k+1)2 =k(2k+1)(k+1)+(k+1)2 =(k+1)(2k2+4k+3) =(k+1)[2(k+1)2+1]. 即n=k+1时,等式成立. 因此存在a=,b=2,c=1使等式对一切n∈N+都成立.- 配套讲稿:
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