浙江省2021届高三第一次五校联考数学(理)试题-Word版含答案.docx

2022学年浙江省第一次五校联考
数学（理科）试题卷
命题学校：宁波效实中学

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：
柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高
球的体积公式V=πR3 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为，集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．在等差数列中，，则此数列的前6项和为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．已知函数是偶函数，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知直线，平面满足，则“”是“”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
5．函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度

6．1
1
1
1
1
侧视图
俯视图
右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，
则它的正视图为（ ）
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（A）
（B）
（C）
（D）

7．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④．中恒成立的为（ ）
（A）①③ （B）③④ （C）①② （D）②③④

8．已知数列满足：，．若
，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）

9．定义，设实数满足约束条件，则
的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）

10．已知函数，则关于的方程的实根个数不行能为（ ）
（A）个 （B）个 （C）个 （D）个

非选择题部分（共100分）
二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11．函数的定义域为_____▲____．
12．已知三棱锥中，，，则直线与底面所成角为_____▲____．
13．已知，，则_____▲____．
14．定义在上的奇函数满足，且，则
_____▲____．
15．设是按先后挨次排列的一列向量，若，
且，则其中模最小的一个向量的序号 ___▲____．
16．设向量，，其中为实数．
若，则的取值范围为_____▲____．
17．若实数满足，则的最大值为____▲____．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）在中，角的对边分别为，已知,
的面积为．
（Ⅰ）当成等差数列时，求；
（Ⅱ）求边上的中线的最小值．

19．（本题满分14分）四棱锥如图放置，,，
，为等边三角形．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

20．本题满分15分）已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求的取值范围．

21．（本题满分15分）已知数列的前项和满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前和为，证明：．

22．（本题满分14分）给定函数和常数，若恒成立，则称为函数的一个“好数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类好数对”．已知函数的定义域为．
（Ⅰ）若是函数的一个“好数对”，且，求；
（Ⅱ）若是函数的一个“好数对”，且当时，，求证：
函数在区间上无零点；
（Ⅲ）若是函数的一个“类好数对”，，且函数单调递增，比较与的大小，并说明理由．

2022学年浙江省第一次五校联考
数学（理科）答案

说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的题答在某一步毁灭错误时，假如后续部分的解答未转变该题的内容与难度，可视影响的程度打算后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本学问和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）C （2）D （3）D （4）C （5）C
（6）B （7）A （8）C （9）B （10）A

二、填空题: 本题考查基本学问和基本运算．每小题4分，满分28分．
（11） （12） （13）
（14） （15）或 (16) (17)
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(18) 解：（Ⅰ）由条件，
而．
即，解得…………7分
（Ⅱ）∵，∴

当时取等号…………14分
(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形中，，而，则
同理，故；…………6分
（Ⅱ）取中点,连，
作,垂足为,再作,连。
易得，则
于是，
即二面角的平面角。
在中，∴，
故二面角的平面角的余弦值为…………14分
解法2：（Ⅰ）易知在梯形中，，
而，则
同理，故；…………6分
（Ⅱ）如图建系，则
,
设平面的法向量为，则
即，取，
又设平面的法向量为，则，
即，取，
故
故二面角的平面角的余弦值为…………14分
(20)解：（Ⅰ）
当时，在和上均递增，∵，则在上递增
当时，在和上递增，在在上递减 …………6分
（Ⅱ）由题意只需
首先，由（Ⅰ）可知，在上恒递增
则，解得或
其次，当时，在上递增，故，解得
当时， 在上递增，故，解得
综上：或…………15分
(21)解：（Ⅰ）由，及，作差得，
即数列成等比，，故…………7分
（Ⅱ）∵
∴ ………9分

则
即………12分

∴
故…………15分
(22)解：（Ⅰ）由题意，，且，则
则数列成等差数列，公差为，首项，于是…………4分
（Ⅱ）当时，，则由题意得

由得，，解得或 均不符合条件
即当时，函数在区间上无零点；
留意到
故函数在区间上无零点； …………9分
（Ⅲ）由题意，则，即
于是
即
而对任意，必存在，使得，由单调递增，得
，则
故…………14分