2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第三章3.1.1知能演练轻松闯关.docx

1．复数1＋i2的实部和虚部分别是(　　)
A．1和i　　　　　　　　　 B．i和1
C．1和－1 D．0和0
解析：选D.∵1＋i2＝1－1＝0，故选D.
2．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
3．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)
A．B∪(∁SB)＝C B．∁SA＝B
C．A∩(∁SB)＝∅ D．A∪B＝C
解析：选A.依据复数的分类可知B∪(∁SB)＝C.
4．下列说法正确的是(　　)
A．假如两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．若a，b∈R且a＞b，则ai＞bi
C．假如复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi不是实数
解析：选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.
5．(2021·宁德高二检测)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．－1或－2
解析：选B.∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴
由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.
6．给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2＝－1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不愿定是纯虚数；
④复数m＋ni的实部确定是m.
其中正确说法的个数为________．
解析：③中b＝0时bi＝0不是纯虚数．故③正确．①中复数分为实数与虚数两大类；②中平方为－1的数为±i；④中m、n不愿定为实数．故①②④错误．
答案：1
7．复数z＝cos(＋θ)＋sin(＋θ)i，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．
解析：z＝cos(＋θ)＋sin(＋θ)i＝－sin θ＋icos θ.
当z是实数时，cos θ＝0.
∵θ∈，∴θ＝±；
当z为纯虚数时，又θ∈，
∴θ＝0.
答案：±　0
8．假如(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m2－1)＋(m2－2m)i应为实数，得
解得m＝2.
答案：2
9．复数z＝(m2－5m＋6)＋(m2＋3m－10)i(m∈R)，求满足下列条件的m的值．
(1)z是实数；
(2)z是虚数；
(3)z是纯虚数．
解：(1)若z是实数，则m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5；
(2)若z是虚数，则m2＋3m－10≠0，
解得m≠2且m≠－5；
(3)若z是纯虚数，则解得m＝3.
10．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数(其中i是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，求θ的值．
解：由于sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，所以
所以
即
又θ∈[0,2π)，所以θ＝.

1．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为(　　)
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：选B.由M∩N＝{3}得3∈M，
故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，
因此得，
解得，
所以m的值为－1，故选B.
2．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题有________个．
解析：在①中没有留意到前提条件为a，b∈R，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝0，z3＝i，则(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝12＋(－i)2＝1－1＝0，但z1≠z2≠z3，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．
答案：0
3．已知关于实数x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
解：依据复数相等的充要条件，得，
解得③.把③代入②，
得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，
∴，解得.
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ∈R)，若z1＝z2，求λ的取值范围．
解：∵z1＝z2，
∴由两复数相等的充要条件得
，
∴λ＝4－4cos2 θ－3sin θ＝4sin2 θ－3sin θ
＝4(sin θ－)2－，sin θ∈[－1,1]．
由二次函数的性质知λ∈.