2020-2021学年人教A版高中数学必修5：第三章-不等式-单元同步测试.docx

第三章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若<<0，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．a＋b<ab　　　　　　　　　 B.＋>2
C．ab<b2 D．a2<b2
解析　由<<0，可得b<a<0，∴a2<b2.
答案　D
2．若a，b>0，且P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P<Q
C．P≥Q D．P≤Q
解析　P2－Q2＝－(a＋b)
＝≤0，
所以P2≤Q2，即P≤Q.
答案　D
3．已知向量a＝(x，－1)，b＝(y－1,1)，x，y∈R＋，若a∥b，则t＝x＋＋y＋的最小值是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
解析　由a∥b，得x＋y＝1.
∴t＝t(x＋y)＝(x＋y)＝1＋1＋＋＋1≥3＋2＝5.
当且仅当x＝y＝时，t取最小值5.
答案　B
4．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析　由于集合A＝{x|－<x<3}，又集合B＝{x∈N*|x≤5}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
答案　B
5．若m<n，p<q且(p－m)(p－n)<0，(q－m)(q－n)<0，则m，n，p，q从小到大排列挨次是(　　)
A．p<m<n<q B．m<p<q<n
C．p<q<m<n D．m<n<p<q
解析　将p，q看成变量，则m<p<n，m<q<n.
答案　B
6．当点(x，y)在直线x＋3y＝2上移动时，z＝3x＋27y＋1的最小值是(　　)
A．3 B．7
C．1＋2 D．6
解析　z＝3x＋27y＋1≥2＋1＝2＋1＝2＋1＝7.
答案　B
7.

如图，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OEFG(含边界)，若点F是目标函数的最优解，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　kGF＝－，kEF＝－，由题意，知kEF≤k≤kGF.
答案　C
8．函数f(x)＝则不等式xf(x)－x≤2的解集为(　　)
A. B.
C. D.∪
解析　或解得－1≤x≤2.
答案　B
9．某金店用一杆不精确     的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放入左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金(　　)
A．大于10 g B．小于10 g
C．大于等于10 g D．小于等于10 g
解析　设天平的两边臂长分别为a，b，两次所称黄金的重量分别为xg，yg.
则所以x＋y＝＋>2 ＝10.
答案　A
10．对任意的a∈，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围为(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(3，＋∞)
解析　y＝φ(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
x＝2时，y＝0，所以x≠2.只需
答案　B
11．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4
C．1 D.
解析　∵a>0，b>0,3a·3b＝3，∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4.
答案　B
12．对于使－x2＋2x≤m成立的全部常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界．若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－3 B．－4
C．－ D．－
解析　∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，
∴＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2 ＝，∴－－≤－，即－－的上确界为－.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设a>b，则①ac2>bc2；②2a>2b；③<；④a3>b3；⑤|a|>|b|.正确的结论有________．
答案　②④
14．函数y＝2x2＋的最小值是________．
解析　y＝2x2＋＝2(x2＋1)＋－2≥2－2＝2×4－2＝6.
当且仅当2(x2＋1)＝.即x＝±1时，等号成立．
答案　6
15．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
解析　依题意知方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，依据韦达定理可求得a＝5，b＝－6，所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－.
答案　
16．某试验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________元．
解析　设购买35kg的x袋，24kg的y袋，则35x＋24y≥106，x∈N，y∈N，共花费z＝140x＋120y，作出由对应的平面区域，则知目标函数在(1,3)点处取得最小值为500元．
答案　500
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知a，b，x，y>0且>，x>y，
求证：>.
证明：－＝.
由>>0，可得b>a>0.
又∵x>y>0，∴bx>ay，x＋a>0，y＋b>0，
∴>0，∴>.
18．(12分)设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为(，3)，求m的值．
解　(1)当m＝1时，f(x)>0，即
2x2－x>0⇒x(2x－1)>0⇒x<0，或x>.
∴此时不等式的解集为(－∞，0)∪(，＋∞)．
(2)由f(x)＋1>0，得(m＋1)x2－mx＋m>0.
∵不等式的解集为(，3)，
∴和3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两个根，
且m＋1<0.
∴解得m＝－.
19．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
解　(1)∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集是{x|x<－3或x>－2}，
∴方程kx2－2x＋6k＝0的两根为－3，－2，且k<0.
由根与系数的关系得∴k＝－.
(2)∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集为R，
∴解得
故k的取值范围是.
20．(12分)某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给同学配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？

解　设每盒盒饭需要面食x百克，米食y百克，所需费用为z＝0.5x＋0.4y，且x，y满足
作出可行域，如图所示．由图可知，平行直线系y＝－x＋z过点A时，纵截距z最小，即z最小．由解得点A.
所以每盒盒饭为面食百克，米食百克时，既科学又费用最少．
21．(12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f＝f(x)－f(y)，若f(2)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.
解　由f(x＋3)－f<2，得
即
又f＝f(4)－f(2)，∴f(4)＝2f(2)＝2.
∴
∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴解得0<x<1.
22．(12分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从其次年开头包括修理费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
(1)该船捕捞几年开头盈利？(即总收入减去成本及全部费用之差为正值)
(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．
解　(1)设捕捞n年后开头盈利，盈利为y元，则y＝50n－－98＝－2n2＋40n－98.
由y>0，得n2－20n＋49<0，
解得10－<n<10＋(n∈N)．
则3≤n≤17，故n＝3.即捕捞3年后，开头盈利．
(2)①平均盈利为＝－2n－＋40≤－2＋40＝12，当且仅当2n＝，即n＝7时，年平均盈利最大．
故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110万元．
②∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当n＝10时，y的最大值为102.
即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102＋8＝110万元．
综上知两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．