2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:选修4-5-第2讲-不等式的证明.docx
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1、第2讲不等式的证明最新考纲了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,并能用它们证明一些简洁不等式知 识 梳 理1基本不等式定理1:设a,bR,则a2b22ab.当且仅当ab时,等号成立定理2:假如a、b为正数,则,当且仅当ab时,等号成立定理3:假如a、b、c为正数,则,当且仅当abc时,等号成立定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)假如a1、a2、an为n个正数,则,当且仅当a1a2an时,等号成立2柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时等号成立(2)若ai,bi(iN*)为实数,则()()(ibi)2
2、,当且仅当(当ai0时,商定bi0,i1,2,n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式:设,为平面上的两个向量,则|,当且仅当,共线时等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等诊 断 自 测1已知a、b、m均为正数,且ab,M,N,则M、N的大小关系是_解析MN0,即MN.答案MN2设a,b,c,则a,b,c的大小关系为_解析分子有理化得a,b,c,abc.答案abc3若0ab1,则ab,2,a2b2,2ab中最大的一个是_解析ab2,a2b22ab.又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1),0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.
3、答案ab4已知x,yR,且xy1,则的最小值为_解析24.答案45若a,b,c(0,),且abc1,则的最大值为_解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时,等号成立()23.故的最大值为.答案考点一分析法证明不等式【例1】 设a,b,c0,且abbcca1.求证:(1)abc.(2) ()证明(1)要证abc ,由于a,b,c0,因此只需证明(abc)23.即证:a2b2c22(abbcca)3,而abbcca1,故需证明:a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证:a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证
4、得原不等式成立(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立,只需证明 .即证abc1,即证abcabbcca.而a,b,c.abcabbcca.原不等式成立规律方法 分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发觉条件和结论之间的关系时,可用分析法来查找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必需可逆【训练1】 已知a、b、c均为正实数,且abc1,求证:(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)证明a、b、cR,且abc1,要证原不等式成立,即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)
5、c,也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ca)(ab)2 0,(ab)(bc)2 0.(bc)(ca)2 0,三式相乘得式成立,故原不等式得证考点二用综合法证明不等式【例2】 已知a0,b0,ab1,求证:(1)8;(2)9.证明(1)ab1,a0,b0,22244 48.8.(2)1,由(1)知8.9.规律方法 利用综合法证明不等式,关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式【训练2】 已知a,b,cR,且互不相等,且abc1,求证:.证明法一a,b,cR,且互不相等,且abc1,.法二22;22;22.以上三式相加,得 .又a,b,c互不相
6、等,.法三a,b,c是不等正数,且abc1,bccaab.考点三利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(2021湖北卷)设x,y,zR,且满足:x2y2z21,x2y3z,则xyz_.(2)已知x、y、zR,且xyz1,则:的最小值为_解析(1)由柯西不等式,得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2,(x2y3z)214,则x2y3z,又x2y3z,x,因此x,y,z,于是xyz.(2)法一利用柯西不等式由于(xyz)236.所以36.当且仅当x2y2z2,即x,y,z时,等号成立法二(xyz)(xyz)(xyz)1414461236.当且仅当y2x,z3x,即x,y,z时,等号成立答
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