【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第5章-第3节-平面向量的数量积及其应用.docx

第五章　第三节

一、选择题
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝，则向量a，b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案]　C
[解析]　|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝a·b＋b2＝cos<a，b>＋1＝，∴cos<a，b>＝，即得<a，b>＝，故应选C．
2．已知平面对量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则λ＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案]　B
[解析]　由于(λa－b)·a＝λ|a|2－b·a＝10λ－10＝0，解得λ＝1，故选B．
3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于(　　)
A．1 B．－4
C．－ D．
[答案]　C
[解析]　依题意，e1·e2＝|e1||e2|cos＝，
所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－6＋2＋＝－.
4．(2021·长沙模拟)关于平面对量a，b，c，有下列三个命题：
(1)若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；
(2)若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则k＝；
(3)非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中全部真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题(1)不正确；
若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝，即命题(2)正确；
非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个，故应选C．
5．(2022·新课标Ⅱ)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
[答案]　A
[解析]　本题考查平面对量的模，平面对量的数量积．
∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.
联立方程解得a·b＝1，故选A．
6．(文)在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的外形确定是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　C
[解析]　由(＋)·＝||2得
(＋)·－||2＝0，
即·(＋－)＝0，
即·(2)＝0，故有⊥.
(理)(2022·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)
即sinC＝1－cosC，所以sin(C＋)＝，
又由于C为△ABC的内角，所以C＋＝，即C＝.
二、填空题
7．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查平面对量的垂直充要条件、数量积、模等．
a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，
∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
8．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为__________．
[答案]　x－3y＋5＝0
[解析]　设P(x，y)是所求直线上任一点，
＝(x＋2，y－1)，
∵∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
9．(文)(2022·江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
[答案]　3
[解析]　本题主要考查向量的数量积及向量模的运算．
∵|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2，
又∵|e1|＝|e2|＝1，e1e2的夹角余弦值为
∴上式＝9－12×＋4＝9
∴|a|＝3，解答本题关键是把握向量的平方等于相应向量模的平方性质．
(理)(2022·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查平面对量数量积的性质及运算．
依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，
|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，
cosβ＝＝＝.
三、解答题
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的射影．
[解析]　(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的射影为|a|cosθ.
∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.

一、选择题
1．(文)已知两单位向量a，b的夹角为60°，则两向量p＝2a＋b与q＝－3a＋2b的夹角为(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
[答案]　B
[分析]　本题求解中，要留意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．
[解析]　p·q＝(2a＋b)·(－3a＋2b)＝－6a2＋a·b＋2b2
＝－6a2＋|a|·|b|·cos60°＋2b2＝－，
|p|＝|2a＋b|＝＝
＝＝，
|q|＝|－3a＋2b|＝＝
＝＝，
而cos〈p，q〉＝＝－.即p与q的夹角为120°.
(理)已知两点A(1,0)为，B(1，)，O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ，(λ∈R)，则λ等于(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－2
[答案]　C
[解析]　由条件知，＝(1,0)，＝(1，)，＝(λ－2，λ)，
∵∠AOC＝120°，
cos∠AOC＝＝，
∴＝－，解之得λ＝1，故选C．
2．设a、b、c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值确定等于(　　)
A．以a、b为两边的三角形的面积
B．以a、b为邻边的平行四边形的面积
C．以b、c为两边的三角形的面积
D．以b、c为邻边的平行四边形的面积
[答案]　B
[解析]　由题意知a⊥c，∴|cos<b，c>|＝sin<a，b>，又|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|b|·|c|·|cos<b，c>|＝|b|·|a|·sin<a，b>，∴|b·c|表示以a、b为邻边的平行四边形的面积．
二、填空题
3．若OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
[答案]　4
[解析]　本题考查向量的数量积及坐标运算．
∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，
∴＝－＝(1，k－1)．
由题意知⊥，∴·＝0，
即(－3,1)·(1，k－1)＝0.
∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.
4．(文)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，则函数y＝a·b的最小正周期为________．
[答案]　π
[解析]　∵y＝a·b＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴T＝＝π.
(理)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
[答案]　－16　
[解析]　本题考查向量的数量积运算．如图．
·＝(＋)·(＋)＝||2－||2＝32－52＝－16.
三、解答题
5．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
[解析]　(1)由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又由于a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥B．
(2)由于a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，
所以由此得，cosα＝cos(π－β)，
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，
sinα＝sinβ＝，而α>β，所以α＝，β＝.
6．已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．
(1)若||＝||，求tanθ的值；
(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值．
[解析]　(1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，
∴＝(2sinθ－1，cosθ)，＝(2sinθ，cosθ－1)．
∵||＝||，
∴＝.
化简得2sinθ＝cosθ.
∵cosθ≠0(若cosθ＝0，则sinθ＝±1，上式不成立)．
∴tanθ＝.
(2)∵＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sinθ，cosθ)，
∴＋2＝(1,2)．
∵(＋2)·＝1，
∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴sinθ＋cosθ＝.
∴(sinθ＋cosθ)2＝.∴sin2θ＝－.