2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合:规范练6函数与导数问题.docx
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1、规范练(六)函数与导数问题1设f(x)ex(ax2x1)(1)若a0,争辩f(x)的单调性;(2)x1时,f(x)有极值,证明:当时,|f(cos )f(sin )|2.解(1)f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(x)(x2),当a时,f(x)ex(x2)20,f(x)在R上单增;当0a时,由f(x)0,得x2或x;由f(x)0,得x2,f(x)在和(2,)上单调递增,在上单调递减当a时,由f(x)0,得x或x2;由f(x)0,得2x,f(x)在(,2)和)上单调递增,在上单调递减(2)证明x1时,f(x)有极值,f(1)3e(a1)0,a1,f(x)ex(x2x1),f(x)e
2、x(x1)(x2)由f(x)0,得2x1,f(x)在2,1上单调递增,sin ,cos 0,1,|f(cos )f(sin )|f(1)f(0)e12.2已知mR,f(x)2x33x26(mm2)x.(1)当m1时,求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若m,2且关于x的不等式(m1)2(14m)f(x)20在区间k,0上恒成立,求k的最小值k(m)解(1)当m1时,f(x)2x33x2,f(x)6x26x.切线斜率为kf(1)12,f(1)5,所以切线方程为y12x7.(2)令f(x)6x26x6(mm2)0,可得x1m,x2m1,由于m,2,所以m1(m)2m10.当m10,且2
3、m10,即m1时f(x)极大f(m)4m33m2,f(x)微小f(m1)(m1)2(14m)令g(m)f(x)极大4m33m2,则g(m)12m26m0.故g(m)在m1上单调递增,故g(m)g(1)120恒成立令h(x)f(x)(m1)2(14m),明显h(m1)f(m1)(m1)2(14m)0,令h(x0)h(m1)(x0m1),设x(m1)2(axb)2x33x26(mm2)x(m1)2(14m),比较两边系数得a2,b4m1,故x0.结合图象可知,要使(m1)2(14m)f(x)恒成立则只需x0k0即可,故kmink(m)x0;当m10即1m2时,同可知,g(m)f(x)极大4m33m
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