高中数学(北师大版)选修1-1教案:第2章-双曲线-第一课时参考教案.docx
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2.3.1 双曲线的标准方程 【教学目标】: 1.学问与技能 把握双曲线的定义,标准方程,并会依据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培育我们类比推理的力气,激发我们的学习爱好,培育同学思考问题、分析问题、解决问题的力气. 【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简洁应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】:新授课 【课时支配】:1课时 【教 具】:多媒体、实物投影仪 【教学过程】: 一.情境设置 (1)复习提问: (由一位同学口答,老师利用多媒体投影) 问题 1:椭圆的定义是什么? 问题 2:椭圆的标准方程是怎样的? 问题3:假如把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变化?它的方程又是怎样的呢? (2)探究新知: (1)演示:引导同学用《几何画板》作出双曲线的图象,并利用课件进行双曲线的模拟试验,思考以下问题。 (2)设问:①|MF1|与|MF2|哪个大? ②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示? ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系? (请同学回答:应小于|F1F2| 且大于零,当常数等于|F1F2| 时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数大于|F1F2| 时,无轨迹) 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导同学概括出双曲线的定义: 定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的确定值等于常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。(投影) 概念中几个关键词:“平面内”、“距离的差的确定值”、“常数小于” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程,请同学思考、回忆椭圆标准方程的推导方法,随即引导同学给出双曲线标准方程的推导(老师使用多媒体演示) (1)建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),则F1(-c,0)、F2(c,0),又设点M与F1、F2的距离的差的确定值等于常数2a(2a<2c). (3)列式 由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|-|MF2||=2a}. 即: (4)化简方程 由一位同学板演,老师巡察。化简,整理得: 移项两边平方得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0), 思考: 双曲线的焦点F1(0,-c)、F2(0,c)在y轴上的标准方程是什么? 同学得到: 双曲线的标准方程:. 注: (1)双曲线的标准方程的特点: ①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种: 焦点在轴上时双曲线的标准方程为:(,); 焦点在轴上时双曲线的标准方程为:(,) ②有关系式成立,且 其中a与b的大小关系:可以为 (2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是依据项的正负来推断焦点所在的位置,即项的系数是正的,那么焦点在轴上;项的系数是正的,那么焦点在轴上 三.数学应用 例1、已知双曲线两个焦点的坐标为,双曲线上一点P到的距离之差的确定值等于8,求双曲线标准方程 解:由于双曲线的焦点在轴上,所以设它的标准方程为 (,) ∵ ∴ ∴ 所求双曲线标准方程为 变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢? 变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢? 变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢? 四.课堂小结: 双曲线的两类标准方程是焦点在轴上,焦点在轴上,有关系式成立,且 其中a与b的大小关系:可以为- 配套讲稿:
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