2020-2021学年高中数学人教B版必修2模块检测试题一.docx

模块检测试题一
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．棱长都是1的三棱锥的表面积为(　　)
A.　　　　B．2　　　C．3　　　　D．4
解析　S＝4××1×＝.
答案　A
2．直线x＋y－1＝0的斜率为(　　)
A. B. C．－ D．－
解析　直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率k＝－.
∴直线x＋y－1＝0的斜率为－.
答案　C
3．已知直线a、b和平面α、β，且b⊥α，那么(　　)
A．b⊥a，则a∥α B．b不在β内，则α∩β＝∅
C．a∥α，则b⊥a D．α⊥β，则b∥β
解析　A选项中a可能在α内，B选项中α与β可能相交，D选项中b可能在β内，故A、B、D均错误．
答案　C
4．以A(1,3)和B(－5,1)为端点的线段AB的中垂线方程是(　　)
A．3x－y＋8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．2x－y－6＝0 D．3x＋y－8＝0
解析　AB中点(－2,2)，AB斜率为＝，
∴AB的中垂线方程为y－2＝－3(x＋2)，
即3x＋y＋4＝0.
答案　B
5．正四棱锥P－ABCD的高为，侧棱长为，则它的斜高为(　　)
A．2 B．4 C. D．2
解析　如图所示，PO＝，PA＝PB＝PC＝PD＝.

解析图在△PAO中，AO＝＝＝2.
∴AC＝4，∴该正棱锥底面边长为2.
即AB＝BC＝CD＝DA＝2.
取BC中点E，连接PE，则PE为斜高，
在Rt△POE中，
PE＝＝＝.
答案　C

6．如图，侧棱长为2a的正三棱柱的左视图的面积为a2，则该正三棱柱的侧面积为(　　)
A．3a2 B．4a2
C．6a2 D． 8a2
解析　∵设正三棱柱的底面边长为x，它的左视图是一个边长为x，高为2a的矩形，由于左视图的面积为a2，∴x＝a，S侧＝3a×2a＝6a2.
∴该三棱柱的侧面积为6a2.
答案　C
7．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥)，全部棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.
答案　B
8．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，依据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得出这个几何体的体积是(　　)

A．π B.π C.π D．2π
解析　该几何体由上面的半球和下面的圆柱组成，
∴V＝××π×13＋π×12×1＝π.
答案　C
9．在同始终角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)

解析　直线y＝ax过原点，直线y＝x＋a单调递增且它的纵截距和直线y＝ax的斜率符号相同．
答案　C
10．假如直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a为(　　)
A．－ B．－6 C．－3 D.
解析　＝≠，∴a＝－6.
答案　B
11．x，y∈R，A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)，当A∩B只有1个元素时，a，b满足的关系式为(　　)
A.＋＝1 B．a2＋b2＝1
C.＋＝1 D．a＋b＝ab
解析　直线－＝1与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，∴＋＝1.
答案　C
12．过点P(2,1)且被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得弦长最长的直线l的方程为(　　)
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－5＝0
解析　由题意可知，直线l过圆心(1，－2)，∴直线l的方程为＝，即3x－y－5＝0.
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为________．
答案　y＝－2x
14．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________．
解析　圆心C在直线y＝－3上，∴C(2，－3)．
∴r＝|AC|＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝5
15．已知球面上有A、B、C三点，假如AB＝AC＝BC＝2，球心到面ABC的距离为1，那么球的体积________．

解析　如图，由AB＝2，得AO1＝2，而OO1＝1，则OA＝＝，∴球的体积为V＝π×()3＝.
答案　
16．正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则正三棱台的侧面积为________．
解析　正三棱台的斜高h＝ ＝a.∴S侧＝3×[(a＋2a)×a]＝a2.
答案　a2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过其次象限，求实数a的取值范围．
解　(1)l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0，
当x＝0时，y＝a－2，当y＝0时，x＝，
由题意可知a－2＝，
∴a2－2a＝0，∴a＝0，或a＝2.
∴l的方程为x＋y＋2＝0，或3x＋y＝0.
(2)∵l不经过其次象限，
∴∴a≤－1.
18．(12分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
(2)设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|＝4，求以线段AB为直径的圆的方程．
解　(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)．
又圆C的圆心为(3，－2)，r＝3，
由＝1⇒k＝－，
∴直线l的方程y＝－(x－2)，即3x＋4y－6＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，满足圆心到直线l的距离为1.
∴直线l的方程为x＝2，或3x＋4y－6＝0.
(2)当|AB|＝4，圆心C到直线l的距离为，
∴＝，k＝，
∵直线PC的斜率k′＝＝－2，∴k·k′＝－1.
∴直线PC与直线l垂直，∴P为AB中点．
∴以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.
19．(12分)

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(担忧装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r取何值时？S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
解　(1)设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.
S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π，其中0<r<0.6.
∴当半径r＝0.4 m时，Smax＝0.48π≈1.51 m2.
(2)由r＝0.3及2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6 m.

20．(12分)

如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDD1B1；
(2)求证：AC∥平面B1DE.

证明　(1)∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，
∴BB1⊥AC.
∵BB1∩BD＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.
(2)设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，则OF∥BB1，且OF＝BB1.
又E是侧棱CC1的中点，∴EC＝CC1.
又∵BB1∥CC1，BB1＝CC1，
∴OF∥CC1，且OF＝CC1.
∴四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF.
又AC⊄平面B1DE，EF⊂平面B1DE，
∴AC∥平面B1DE.
21．(12分)已知直线l：x＋my－3＝0，圆C(x－2)2＋(y＋3)2＝9.
(1)若直线l与圆相切，求m的值；
(2)当m＝－2时，直线l与圆C交于点E、F，O为原点，求△EOF的面积．
解　圆C的圆心C(2，－3)，r＝3.
(1)＝3，∴m＝.
(2)当m＝－2时，直线l：x－2y－3＝0，
C到直线l的距离d＝＝，
∴|EF|＝2＝4.
O到直线l的距离为h＝ .
∴△EOF的面积为S＝×4×＝.
22.

(12分)如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF相互垂直．
(1)求证：AF⊥平面CBF；
(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
(3)求三棱锥C—BEF的体积．

解　(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴CB⊥平面ABEF.
∵AF⊂平面ABEF，∴CB⊥AF.
又AF⊥BF，且BF∩BC＝B，BF、BC⊂平面CBF，∴AF⊥平面CBF.
(2)设DF的中点为N，则MN綊CD，
又AO綊CD，则MN綊AO，四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN.
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面ADF，
∴OM∥平面ADF.
(3)过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH＝60°，
∴EH＝，EF＝AB－2HB＝1.
故S△BEF＝×1×＝，
VC－BEF＝×S△BEF×BC＝.