《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修2)教师用书:2.2空间中直线与直线的位置关系-讲义.docx
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1、第2课时空间中直线与直线的位置关系1.了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义.2.把握平行公理,把握等角定理.3.把握两条异面直线所成角的定义.重点:如何推断两直线是异面直线,如何找出两直线所成的角,平行公理的应用.难点:异面直线所成角的计算.如图是一幅立交桥图片,从图片中我们可以看出,设计人员借助空间思想,让各种车道在同一交汇点凹凸交叉,削减了车道交叉的情形,有效地缓解了车辆行驶的拥挤状况.问题1:从立体几何角度分析,立交桥运用了空间中的两条直线不共面原理,在空间中两条直线可以按是否共面进行分类,我们称不共面的两条直线为异面直线,共面的两条直线又可以分为两类,分别是平行直线和相交
2、直线,异面直线和平行直线有一个相同特点,即两条直线平行或异面,则这两条直线没有公共点,相交的两条直线有一个公共点.问题2:在空间中,有些平面几何的结论在立体几何中也适用:(1)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;(2)公理4:平行于同始终线的两条直线相互平行;(3)等角定理:空间中假如两个角的两条边对应平行,那么这两个角相等或互补.问题3:如何在空间中证明两条直线平行?(1)利用定义.利用定义证明两直线平行,要证两点:一是证明两直线在同一平面内;二是证明两直线没有公共点.(2)利用公理4.用公理4证明两直线平行,只需证一点:就是要找到直线c,使得ac,同时bc,由公理4可得ab.问题
3、4:如何推断两条直线是否异面?如何求两条异面直线所成的角?依据异面直线的定义“不在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要留意把握异面直线的不共面性,同时也不能把异面直线误会为分别在不同平面内的两条直线.(2)两条异面直线所成角的范围为(0,90.(3)如图,为了求异面直线a与b所成的角,原则上可以在空间中任取一点O,过点O分别作a、b的平行线a与b,再通过解相应的三角形求得a、b所成的角,即为所求角.但为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,特殊是这条直线上的特殊点,如“端点”或“中点”等处.将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线
4、的夹角,实现了空间问题向平面问题的转化,这是解决立体几何问题的重要方法.21世纪是信息的时代,电脑联系了世界各地,轻轻一点鼠标,你就可以找到所需要的内容,信息的沟通可谓便捷快速,精致的电脑何以有如此的魅力?你可知道它背后的网络链接?信息的网络真是星罗棋布,错综简洁.假如用线来形容就是下面的情形:有的从一点动身,“分道扬镳”;有的相互平行,“并肩而行”;有的凹凸不等,“走向不同”.那么在数学中它们有什么样的位置关系?1.若直线a、b都和平面平行,则直线a、b的位置关系是().A.相交B.平行C.异面D.以上三者都有可能【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.【答案】D2.给出下列结论:直
5、线l平行于平面内的很多条直线,则l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,b,则a;若直线ab,b,则直线a就平行于平面内的很多条直线.其中结论正确的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】直线l还可能在平面内,所以错误;直线a还可能与平面相交,所以错误;直线a还可能在平面内,所以错误;平面内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以正确.【答案】A3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小为.【解析】取AC中点G,连接EG,FG,在EFG中,EGBC,EG=BC=4,FGAD,FG=AD=3,又知EF=5,EGF=90
6、,AD与BC所成角为90.【答案】904.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,CC1,C1D1,A1D1的中点,推断四边形EFGH是什么外形.请说明理由.【解析】 四边形EFGH是等腰梯形,理由如下:连接A1C1,在D1A1C1中,由于G,H分别为C1D1,A1D1的中点,所以GHA1C1,GH=A1C1,在对角面AA1C1C中,E,F分别为AA1,CC1的中点,所以EFA1C1,EF=A1C1,由公理4得GHEF,GH=EF,所以四边形EFGH是梯形,易证A1EHC1FG,所以EH=FG,所以四边形EFGH是等腰梯形.异面直线的推断如图,在长方体ABCD-A
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