《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修2)教师用书：2.2空间中直线与直线的位置关系-讲义.docx

第2课时　空间中直线与直线的位置关系

1.了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义.
2.把握平行公理,把握等角定理.
3.把握两条异面直线所成角的定义.

重点:如何推断两直线是异面直线,如何找出两直线所成的角,平行公理的应用.
难点:异面直线所成角的计算.

如图是一幅立交桥图片,从图片中我们可以看出,设计人员借助空间思想,让各种车道在同一交汇点凹凸交叉,削减了车道交叉的情形,有效地缓解了车辆行驶的拥挤状况.

问题1:从立体几何角度分析,立交桥运用了空间中的两条直线不共面原理,在空间中两条直线可以按是否共面进行分类,我们称不共面的两条直线为异面直线,共面的两条直线又可以分为两类,分别是　平行直线　和　相交直线　,异面直线和平行直线有一个相同特点,即两条直线平行或异面,则这两条直线　没有公共点　,相交的两条直线　有一个　公共点. 
问题2:在空间中,有些平面几何的结论在立体几何中也适用:
(1)经过直线外一点　有且只有　一条直线与这条直线平行; 
(2)公理4:平行于同始终线的两条直线　相互平行　; 
(3)等角定理:空间中假如两个角的两条边对应　平行　,那么这两个角　相等　或　互补　. 
问题3:如何在空间中证明两条直线平行?
(1)利用定义.利用定义证明两直线平行,要证两点:一是证明两直线　在同一平面内　;二是证明两直线　没有公共点　. 
(2)利用公理4.用公理4证明两直线平行,只需证一点:就是要找到直线c,使得a∥c,同时b∥c,由公理4可得a∥b.
问题4:如何推断两条直线是否异面?如何求两条异面直线所成的角?
依据异面直线的定义“不在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不　相交　,也不　平行　,要留意把握异面直线的不共面性,同时也不能把异面直线误会为分别在不同平面内的两条直线. 
(2)两条异面直线所成角θ的范围为　(0°,90°]　. 

(3)如图,为了求异面直线a与b所成的角,原则上可以在空间中任取一点O,过点O分别作a、b的　平行线a'与b'　,再通过解相应的三角形求得a'、b'所成的角,即为所求角.但为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,特殊是这条直线上的特殊点,如“端点”或“中点”等处.将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角,实现了空间问题向平面问题的转化,这是解决立体几何问题的重要方法. 

21世纪是信息的时代,电脑联系了世界各地,轻轻一点鼠标,你就可以找到所需要的内容,信息的沟通可谓便捷快速,精致的电脑何以有如此的魅力?你可知道它背后的网络链接?信息的网络真是星罗棋布,错综简洁.假如用线来形容就是下面的情形:有的从一点动身,“分道扬镳”;有的相互平行,“并肩而行”;有的凹凸不等,“走向不同”.那么在数学中它们有什么样的位置关系?

1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是(　　).
A.相交　　　　　　　　B.平行
C.异面 D.以上三者都有可能
【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.
【答案】D
2.给出下列结论:
①直线l平行于平面α内的很多条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的很多条直线.其中结论正确的个数为(　　).
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;
②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;
③直线a还可能在平面α内,所以③错误;
④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.
　　【答案】A
3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小为　　　　. 

【解析】取AC中点G,连接EG,FG,
在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,
∴∠EGF=90°,∴AD与BC所成角为90°.
【答案】90°
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,CC1,C1D1,A1D1的中点,推断四边形EFGH是什么外形.请说明理由.

【解析】 四边形EFGH是等腰梯形,理由如下:
连接A1C1,在△D1A1C1中,由于G,H分别为C1D1,A1D1的中点,
所以GH∥A1C1,GH=A1C1,
在对角面AA1C1C中,E,F分别为AA1,CC1的中点,
所以EF∥A1C1,EF=A1C1,
由公理4得GH∥EF,GH=EF,
所以四边形EFGH是梯形,
易证△A1EH≌△C1FG,所以EH=FG,
所以四边形EFGH是等腰梯形.

异面直线的推断
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列几组直线:
①直线A1B与直线D1C;
②直线A1B与直线B1C;
③直线D1D与直线D1C;
④直线AB与直线B1C.
其中是异面直线的为(　　).
A.①②　　B.①④　　C.②③　　D.②④
【方法指导】当依据定义直接推断不好推断时,可结合图形来推断.
【解析】①中,易推断四边形A1BCD1是平行四边形,故A1B∥D1C;③中,D1D∩D1C=D1;②中,由图可知,点A1、B、B1在一个平面A1BB1中,而C不在平面A1BB1内,故A1B与B1C异面;同理,直线AB与直线B1C也异面.综上可知选D.
【答案】D
【小结】推断或证明两直线为异面直线的方法有:
(1)定义法:本方法不易操作,所以一般不用.
(2)反证法:可先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,然后以该假设为条件,进行推理,导出冲突,从而可否定假设,即确定两直线异面.此法在异面直线的判定中经常使用.
(3)在客观题中,也可用以下结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如下图:

异面直线所成的角
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BD与B1C所成的角.
【方法指导】先将异面直线所成的角转化为同一平面内两直线(或线段)所成的角,再在相关三角形中求解.

【解析】如图,连接A1D,A1B,则△A1BD是等边三角形,∠A1DB=60°,
故BD与B1C所成角是60°.
【小结】求异面直线所成的角要通过作平行线把空间角转化为平面角,作平行线时,往往过一条线上的一点(特殊是端点)作另一条线的平行线.

平行公理的应用

如图,A1、B1、C1、D1分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且===.求证:四边形A1B1C1D1为平行四边形.
【方法指导】本题的实质是证明线线平行,而证明的依据就是利用平面几何中的平行线分线段成比例定理及空间的平行公理来证明线线平行.要证明四边形是平行四边形,主要有两种思路:一是证明两组对边分别平行;二是证明一组对边平行且相等.
【解析】在△ABC中,∵=,
∴A1B1∥AC.
同理C1D1∥AC,
由平行公理可知A1B1∥C1D1,
∴四边形A1B1C1D1是平面图形.
同理可证A1D1∥B1C1,
∴四边形A1B1C1D1为平行四边形.
【小结】用平面几何中的学问解决空间问题是立体几何中常用的方法,在平常的学习中要留意运用和体会.

如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,与棱AB所在直线异面的棱共有几条?

　　【解析】长方体共有12条棱,与棱AB所在直线平行的棱有3条,与棱AB有公共点的棱有4条,这7条棱所在直线与AB所在直线共面,其余4条棱与AB所在直线异面,它们是A1D1,B1C1,D1D,C1C.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E为平面BCC1B1的对角线的交点,点F为DD1的中点,那么EF与AD1所成角的余弦值是多少?

【解析】如图,∵BC1∥AD1,
∴∠C1EF即是EF与AD1所成的角.
设正方体棱长为2,可得EC1=,EF=,FC1=,于是,cos∠C1EF===,即EF与AD1所成角的余弦值是.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为CD、AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.
【解析】连接AC,
∵M、N分别为CD、AD的中点,
∴MN∥AC,且MN=AC.
又∵AA1∥CC1,AA1=CC1,
∴四边形AA1C1C是平行四边形,
∴AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,
∴四边形MN A1C1是梯形.

1.已知a,b是异面直线,且直线c∥a,那么直线c与直线b(　　).
A.确定是异面直线
B.确定是相交直线
C.不行能是相交直线
D.不行能是平行直线
【解析】假设c∥b,又c∥a,所以 a∥b,与a,b是异面直线冲突,所以c与b不行能平行.
【答案】D

2.已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且==.则四边形EFGH的外形是(　　).
A.空间四边形　　　　B.平行四边形
C.矩形 D.梯形
【解析】 在△ABD中可得EH∥BD,EH=BD,在△CBD中可得FG∥BD,FG=BD,所以EH,FG平行且不相等,所以四边形EFGH是梯形.
【答案】D

3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是AB、AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC=1∶2,则EF与B1C1的位置关系是　　　　. 
【解析】∵在△ABC中,
AE∶EB=AF∶FC,
∴EF∥BC.
又∵BC∥B1C1,
∴EF∥B1C1.
【答案】平行

4.在三棱锥S-ABC中,△SBC为等边三角形,D、E分别是棱AC、AB上的点,且=,求异面直线DE与SB所成的角.
【解析】∵=,∴DE∥BC,

　　于是DE与SB所成的角为BC与SB所成的角,即为∠SBC或其补角.
∵△SBC为等边三角形,
∴∠SBC=60°,
于是DE与SB所成的角为60°.

(2009年·全国Ⅱ卷)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　).
A. B.
C. D.
【解析】∵BA1∥CD1,∴异面直线BE与CD1所成角即为∠EBA1,设AB=1,则易求BE=,BA1=,EA1=1,
∴cos∠EBA1===.
【答案】C