高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-拓展资料：导数在证明恒等式中的应用.docx

拓展资料：导数在证明恒等式中的应用
　　一、预备学问
　　定理1 若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．
　　证明 在区间I上取定一点x0及x∈I．明显，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有
f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．
　　已知f′(ξ)＝0，从
f(x)－f(x0)＝0 或 f(x)＝f(x0)
　　设f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．
　　定理2 若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常数．
　　二、应用例题

　　证法 f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．
　　证明 设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有
f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′
　　由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常数．

　　证明 设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有

　　由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．

　　例3 证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．
　　证明 设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，
　　于是 f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′

　　由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．
　　令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，
　　于是 arccos(－x)＋arccosx＝π．

　　x∈(1，＋∞)有

　　例5 证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]
　　证明 设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有
f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′

　　由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常数．
　　令x＝－1，则c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0
　　于是， x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．

　　于是， x∈[0，1]，有

　　证明 x∈R，有

　　即x∈R，有

　　与 g′(x)＝0．
　　从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c

　　与 g′(x)＝－1．
　　从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．

　　从而，c＝0．于是，

　　解 设F(x)＝f1(x)－f2(x)

　　由定理1知， x∈R(x≠±1)，有

　　(2) x∈(－1，1)，令x＝0，则

　　于是，
　　例11 求证：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．
　　证明 将a，y看作固定常数，x看作变量，设
　　f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．
　　则x∈(0，＋∞)，有
　　由定理1知，(x)＝c 或 logaxy－logax－logay＝c．令x＝1，则c＝logay－logay＝0，从而 logaxy－logax－logay＝0，
　　即 logaxy＝logax＋logay．
　　例12 求x∈R，满足等式acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的全部实数对(a，b)全体，
　　解 设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则依据定理1， x∈R，应有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)

　　(1)a＝0，由题设等式知，－cosb2＝－1－b2 或 cosb2＝1＋b2．
　　解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．

(a－1)x＋b2＝2kπ 或 (a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z
　　解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，
　　并且仅当k＝0，上式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，
　　(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z
　　解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即 2＋b2＝0，
　　明显，这样的b不存在．
　　综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．

　　例14 证明： x，y∈Rsin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny
　　证明 设f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．只须证明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．
　　用反证法．假设f(x，y)≠0，由于
f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，
f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，
　　则 df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)， (3)
　　同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)． (4)
　　由(3)与(4)，得
　　或 －g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，
　　从而 f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．
　　由假设f(x，y)≠0，则c为不等零的常数．
　　令x＝y＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，这与c≠0冲突．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．
　　例15 已知x≠2kπ，k∈Z．
　　求证：
　　证明 已知

　　对上式两端同时求导，有

　　类似可证：已知x≠2kπ，k∈Z，
　　求证：

　　例16 证明：
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝
　　证明 已知

　　对上式两端求导，得
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx

　　注 欲证等式的左端2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
　　恰为 sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的导函数，所以证明开头应用了公式

　　例17 已知

　　证明 对已知等式取自然对数，有
　　对上式两端求导，有

　　对上式两端求导，得
　　令x＝1，则
　　令x＝－1，则
　　例19 证明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，则a＝b＝c，其中a，b，c为常数．
　　证明 将a看作变量，b，c看作固定常量，等式两端同时对a求导，有

　　由已知条件知，a、b、c为对称的，所以有

　　将(2)代入(1)，化简得a＝c．同理a＝b，从而，a＝b＝c．