高中数学(北师大版)必修四教案：1.7-正切函数的图像与性质-参考教案.docx

正切函数的图像与性质
一、 教学目标：
1、 学问与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；
（2）理解正切函数中的自变量取值范围；
（3）把握正切线的画法；
（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；
（5）娴熟依据正切函数的图像推导出正切函数的性质；
（6）能娴熟把握正切函数的图像与性质；
（7）把握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让同学通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有肯定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习乐观性；培育同学分析问题、解决问题的力量；让同学体验自身探究成功的喜悦感，培育同学的自信念；培育同学形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 娴熟运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的状况；现在我们就应当与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观看总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板

第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像争辩了它们的性质。今日我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。
【探究新知】
1． 正切函数的定义
在直角坐标系中，假如角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.依据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
x
y
o
T
A
210°
30°
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
P
当角α位于其次和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相像三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：
（2）为了争辩便利，再考虑一下它的周期：

∴的周期为（最小正周期）
x
y

（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。

O

依据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”

0
y
x

从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y＝tanx的性质
引导同学观看，共同获得：
（1）定义域：，
（2）值域：R
观看：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：
（4）奇偶性：奇函数。
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体生疏
（1）请同学回顾本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思