2022高考总复习(人教A版)高中数学-专题讲-座三-不等式恒成立问题-知能训练轻松闯关.docx

1．设a∈R，则“<0”是“|a|<1”成立的(　　)
A．充要条件　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由于a2－a＋1＝＋>0，所以由<0，得a<1，不能得出|a|<1；反过来，由|a|<1，得－1<a<1，所以<0.因此，“<0”是“|a|<1”成立的必要不充分条件．
2．(2021·湖北七市模拟)不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4，2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x<.
∵＋≥2＝8(当且仅当a＝4b时等号成立)，
∴x2＋2x<8，解得－4<x<2，故选C.
3．(2021·保定市高三调研)若函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x∈________.
解析：由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f(mx－2)＋f(x)<0可变形为f(mx－2)<f(－x)，∴mx－2<－x，将其看作关于m的一次函数g(m)＝x·m－2＋x，m∈[－2，2]，可得当m∈[－2，2]时，g(m)<0恒成立，由g(2)<0，g(－2)<0，解得－2<x<.
答案：
4．(2021·广东六校联考)设函数f(x)＝lg(a≠0)，若对任意实数b，函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，
则满足
即对任意实数b恒成立，只要4a大于的最大值即可，而的最大值为4，即4a>4，a>1.
答案：(1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：由于x∈[1，＋∞)，所以f(x)＝>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．
即当x≥1时，a>－(x2＋2x)恒成立．令g(x)＝－(x2＋2x)．
由于g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
6．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a为实常数)．
(1)若a＝－2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对∀x∈[1，e]，使得f(x)≤(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2时，f(x)＝x2－2ln x，
所以f′(x)＝.
令f′(x)＝>0，
得－1<x<0或x>1，
且定义域为(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．
令f′(x)＝<0，
得x<－1或0<x<1，且定义域为(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调减区间是(0，1)．
(2)不等式f(x)≤(a＋2)x可化为a(x－ln x)≥x2－2x.
由于x∈[1，e]，所以ln x≤1≤x，且等号不能同时取，
所以ln x<x，即x－ln x>0.
因而a≥(x∈[1，e])．
令g(x)＝(x∈[1，e])，
则g′(x)＝，
当x∈[1，e]时，x－1≥0，0≤ln x≤1，
x＋2－2ln x>0，
从而g′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)．
所以g(x)在[1，e]上为增函数．
故[g(x)]max＝g(e)＝.
所以a的取值范围是.