高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章-知识点拨：椭圆的简单性质.docx

椭圆的简洁性质点拨
　　一．基础学问精讲
　　1.椭圆+=1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.

　　2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.
　　3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)
　　4.离心率：e=,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.
　　5.椭圆的其次定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.
　　6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+=1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.
　　7.椭圆的参数方程
　　二．命题趋势分析
　　1.娴熟把握椭圆的其次定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题.
　　2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，这样计算简洁，还可避开对焦点位置的争辩.
　　3.遇到弦的中点问题时，常用点差法.
　　三．重点难点例析
　　通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，把握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的其次定义.
　　例1P是椭圆方程为+=1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.
　　解析：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4-，4+］且｜PF2｜=2a-t=8-t.
　　∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4-，4+］
　　当t=4时，取最大值为16，
　　当t=4±时，取最小值为9.
　　∴所求范围为［9，16］。
　　例2　F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.
　　解析：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜=t，由椭圆定义有：
　　｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a，
　　∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即(+2)t=4a,t=(4-2)a，
　　∴｜PF2｜=2a-t=(2-2)a，
　　在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2，
　　∴［(4-2)a］2+［(2-2)a］2=(2c)2
　　∴=9-6 ∴e==-，
　　例3已知P是椭圆+=1(a＞b＞0)上的一点，F1F2为两焦点，且F1P⊥F2P，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程.
　　解析：(利用椭圆其次定义求解)
　　∵点P到两准线的距离分别是6和12
　　∴2·=6+12 即a2=9c
　　由椭圆其次定义知，e==
　　∵d1=6,d2=12 ∴｜PF1｜=6e,｜PF2｜=12e
　　又∵PF1⊥PF2 ∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2
　　∴36e2+144e2=4c2 ∵e= ∴a2=45
　　又a2=9c ∴c=5 ∴b2=a2-c2=20，
　　∴所求椭圆的方程的+=1
　　例4在椭圆3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由.
　　解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0)，
　　直线AB：y=-x+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0
　　∴△=(-8t)2-4×13×(16t2-48)＞0，
　　∴-＜t＜　　①且x1+x2=t
　　又AB的中点M在直线y=4x+m上，
　　∴t=4×t+m ∴t=-m
　　代入①式得：-＜m＜。
　　解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则
　　+=1　　①+=1　　②
　　①-②得+=0
　　∴=
　　而KAB==-，
　　故有=-，
　　设AB的中点为(x,y)，则有x1+x2=2x,y1+y2=2y，
　　代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.
　　由
　　由于AB的中点在椭圆内部
　　∴+＜1m2＜，
　　-＜m＜。
　　故当m∈(-，)时，椭圆C上有不同的两点关于直线对称.
　　例5椭圆=1上不同三点A(x1,y1),B(4, ),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列.
　　(1)求证：x1+x2=8。
　　(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.
　　解析：由题知a=5,b=3,c=4.
　　(1)由椭圆的其次定义知：
　　=｜AF｜=a-x1=5-x1
　　同理有｜CF｜=5-x2
　　∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜ 且｜BF｜=
　　∴(5-x1)+(5-x2)=
　　即x1+x2=8。
　　(2)∵线段AC的中点为(4，)，
　　∴它的垂直平分线方程为y-=(x-4)，
　　又点T在x轴上，设其坐标为(x0,0)，代入上式得，x0-4=　　①
　　点A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆上
　　∴y21=(25-x21),y22=(25-x22)，
　　∴y21-y22=-(x1+x2)(x1-x2)，
　　将此式代入①并利用x1+x2=8得
　　x0-4=-。
　　∴kBT==。