2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:第8篇-第2讲-两条直线的位置关系.docx
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1、第2讲两条直线的位置关系最新考纲1能依据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理 知 识 梳 理1两直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1k2.特殊地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行(2)两条直线垂直假如两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则l1l2k1k21,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直2两直线的交点直线l1:A1xB1yC10和l2:A2
2、xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解;重合方程组有很多个解3距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|.特殊地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0(A,B不同时为0)的距离为d.可以验证,当A0或B0时,上式仍成立(3)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(其中A,B不同时为0,且C1C2)间的距离d.辨 析 感 悟1
3、对两条直线平行与垂直的理解(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,肯定有k1k2l1l2. ()(2)假如两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积肯定等于1.()(3)(2021天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为的直线且与直线axy10垂直,则a2.()2对距离公式的理解(4)点P(x0,y0)到直线ykxb的距离为. ()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)(教材习题改编)两平行直线2xy10,4x2y10间的距离是0.()感悟提升三个防范一是在推断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率,可依据判定定理推断,若直线无斜率时,要单
4、独考虑如(2)中忽视了斜率不存在的状况;二是求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式,如(4);三是求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式,且x,y的系数对应相同,如(6).考点一两条直线平行与垂直【例1】 已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210.(1)试推断l1与l2是否平行;(2)l1l2时,求a的值解(1)法一当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2;当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线可化为l1:yx3,l2:yx(a1),l1l2解得a1,综上可知,a1时,l1l2,否则l1与l2不
5、平行法二由A1B2A2B10,得a(a1)120,由A1C2A2C10,得a(a21)160,l1l2a1,故当a1时,l1l2,否则l1与l2不平行(2)法一当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1与l2不垂直,故a1不成立;当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不垂直于l2;当a1且a0时,l1:yx3,l2:yx(a1),由1a.法二由A1A2B1B20得a2(a1)0a.规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般状况,也要考虑到斜率不存在的特殊状况同时还要留意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在推断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程
6、的系数间的关系得出结论【训练1】 (2022长沙模拟)已知过点A(2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2xy10为l2,直线xny10为l3.若l1l2,l2l3,则实数mn的值为()A10 B2 C0 D8解析l1l2,kAB2,解得m8,又l2l3,(2)1,解得n2,mn10.答案A考点二两条直线的交点问题【例2】 求经过直线l1:3x2y10和l2:5x2y10的交点,且垂直于直线l3:3x5y60的直线l的方程解法一先解方程组得l1,l2的交点坐标为(1,2),再由l3的斜率求出l的斜率为,于是由直线的点斜式方程求出l:y2(x1),即5x3y10.法二由于ll3,故l是直线系
7、5x3yC0中的一条,而l过l1,l2的交点(1,2),故5(1)32C0,由此求出C1,故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1,l2的交点,故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条,将其整理,得(35)x(22)y(1)0.其斜率,解得,代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.规律方法 运用直线系方程,有时会给解题带来便利,常见的直线系方程有:(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mC);(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0;(3)过直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0
8、(其中R,此直线系不包括l2)【训练2】 直线l被两条直线l1:4xy30和l2:3x5y50截得的线段的中点为P(1,2),求直线l的方程解法一设直线l与l1的交点为A(x0,y0),由已知条件,得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0),并且满足即解得因此直线l的方程为,即3xy10.法二设直线l的方程为y2k(x1),即kxyk20.由得x.由得x.则2,解得k3.因此直线l的方程为y23(x1),即3xy10.考点三距离公式的应用【例3】 已知三条直线:l1:2xya0(a0);l2:4x2y10;l3:xy10,且l1与l2间的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使P同时满
9、足下列三个条件:点P在第一象限;点P到l1的距离是点P到l2的距离的;点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由解(1)直线l2:2xy0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d,所以,即,又a0,解得a3.(2)假设存在点P,设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1,l2平行的直线l:2xyc0上,且,即c或,所以2x0y00或2x0y00;若P点满足条件,由点到直线的距离公式,有,即|2x0y03|x0y01|,所以x02y040或3x020;由于P在第一象限,所以3x020不行能联立方程2x0y00和x02y040,解得联立方程2x0y00和
10、x02y040,解得所以存在P同时满足三个条件规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时要留意两直线方程中x,y的系数必需对应相同(2)第(2)问是开放探究性问题,要留意解决此类问题的一般策略【训练3】 (1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2),B(4,2)等距离,则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20(2)已知两条平行直线,l1:mx8yn0与l2:2xmy10间的距离为,则直线l1的方程为_解析(1)由题意可知所求直线斜率存在,故设所求直线方程为y4k(x3),即kxy43k0,由已知,得,k2或.所求直线l
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