2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第8篇-第2讲-两条直线的位置关系.docx

第2讲　两条直线的位置关系
[最新考纲]
1．能依据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知 识 梳 理

知 识 梳 理
1．两直线平行与垂直
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特殊地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两条直线垂直
假如两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有很多个解．
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特殊地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝.
辨 析 感 悟
1．对两条直线平行与垂直的理解
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，肯定有k1＝k2⇒l1∥l2. (×)
(2)假如两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积肯定等于－1.(×)
(3)(2021·天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为－的直线且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝2. (√)
2．对距离公式的理解
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为. (×)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)
(6)(教材习题改编)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(×)
[感悟·提升]
三个防范　一是在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可依据判定定理推断，若直线无斜率时，要单独考虑．如(2)中忽视了斜率不存在的状况；
二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；
三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同，如(6).

考点一　两条直线平行与垂直

【例1】 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试推断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．
解　(1)法一　当a＝1时，
l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
(2)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1⇒a＝.
法二　由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.
规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般状况，也要考虑到斜率不存在的特殊状况．同时还要留意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在推断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
【训练1】 (2022·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)．
A．－10 B．－2 C．0 D．8
解析　∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，
解得m＝－8，又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.
答案　A
考点二　两条直线的交点问题
【例2】 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
解　法一　先解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二　由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三　由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来便利，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是
Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，此直线系不包括l2)．
【训练2】 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解　法一　设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
即解得
因此直线l的方程为＝，
即3x＋y＋1＝0.
法二　设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由得x＝.
由得x＝.
则＋＝－2，解得k＝－3.
因此直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
考点三　距离公式的应用
【例3】 已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋ 1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，
所以3x0＋2＝0不行能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得所以存在P同时满足三个条件．
规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时．要留意两直线方程中x，y的系数必需对应相同．
(2)第(2)问是开放探究性问题，要留意解决此类问题的一般策略．
【训练3】 (1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)．
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
(2)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．
解析　(1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
(2)∵l1∥l2，∴＝≠，∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－18或22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
答案　(1)D　(2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0

两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率肯定要特殊留意

思想方法10——对称变换思想的应用
【典例】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解　(1)设A′(x，y)，再由已知
解得
∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，
则
解得M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
[反思感悟] (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．
(2)假如是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题．
(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．
【自主体验】
(2021·湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P动身，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)．
A．2 B．1
C. D.
解析　以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)与△ABC的重心D共线，所以＝，求得x＝.
答案　D

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析　由题意知，直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案　A
2．(2022·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝(　　)．
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
解析　若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.
答案　D
3．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　)．
A. B. C．4 D．8
解析　∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
答案　B
4．(2022·金华调研)当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　解方程组得两直线的交点坐标为，由于0<k<，所以<0，>0，故交点在其次象限．
答案　B
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点(　　)．
A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．
答案　B
二、填空题
6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析　由得
∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，
∴m＝－9.
答案　－9
7．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________．
解析　由＝，得bsin A－asin B＝0.
∴两直线垂直．
答案　垂直
8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：
①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.
其中正确答案的序号是________．
解析　很明显直线l1∥l2，直线l1，l2间的距离为d＝＝，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|＝d＝，则在Rt△ABC中，sin ∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.
答案　①⑤
三、解答题
9．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：
(1)l1与l2相交； (2)l1⊥l2； (3)l1∥l2； (4)l1，l2重合．
解　(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，
解得m≠－1且m≠3.
故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．
(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝时，l1⊥l2.
(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.
(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时，l1与l2重合．
10．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．
解　由解得
∴l1，l2的交点为(1,2)，
设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝，
解得k＝0或.∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0和x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为(　　)．
A.， B.， C.， D.，
解析　∵d＝，a＋b＝－1，ab＝c，又|a－b|＝∈，从而dmax＝，dmin＝.
答案　D
2．(2022·武汉调研)已知A，B两点分别在两条相互垂直的直线2x－y＝0与x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　)．
A．11 B．10 C．9 D．8
解析　由两直线垂直，得－·2＝－1，解得a＝2.所以中点P的坐标为(0,5)．则OP＝5，在直角三角形中斜边的长度AB＝2OP＝2×5＝10，所以线段AB的长为10.
答案　B
二、填空题
3．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与
两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．

解析　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.
答案　
三、解答题
4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．

图1
图1

解　(1)如图1，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1·kBB′＝－1.即3·＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，
∴3×－－1＝0.即3a－b－6＝0.②
解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．

(2)如图2，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为.
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为， 图2

故Q点坐标为.