2020-2021学年人教A版高中数学选修1-1：第一章-常用逻辑用语-单元同步测试.docx

第一章测试题
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“a>0”是“|a|>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　本题考查充要条件的推断，∵a>0⇒|a|>0，|a|>0Da>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．
答案　A
2．命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为(　　)
A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 B．∀x∉R，x2－2x＋4≤0
C．∃x∈R，x2－2x＋4>0 D．∃x∉R，x2－2x＋4>0
答案　C
3．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　tan(2kπ＋)＝tan＝1，所以充分；但反之不成立，如tan＝1.
答案　A
4．下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
解析　对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0，故选B.
答案　B
5．假如命题“綈p”为真，命题“p∧q”为假，那么(　　)
A．q为假 B．q为真
C．p或q为真 D．p或q不肯定为真
解析　∵命题“綈p”为真，∴命题“p”为假，
又“p∧q”为假，∴q可真也可以假．∴p或q可真也可以假，故应选D.
答案　D
6．下列说法正确的是(　　)
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不肯定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题肯定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题肯定为真．
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
答案　B
7．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
8．下列命题中的假命题是(　　)
A. ∀x>0且x≠1，都有x＋>2
B. ∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)
C. ∀φ∈R，函数y＝sin(x＋φ)都不是偶函数
D．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
解析　A．当x>0时，x＋≥2 ＝2，
∵x≠1，∴x＋>2，故A为真命题．
B．将(1,0)代入直线ax＋y＝a成立，B为真命题．
C．当φ＝时，函数y＝sin(x＋)是偶函数，C为假命题．
D．当m＝2时，f(x)＝x－1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D为真命题，故选C.
答案　C
9．下列选项中，p是q的必要不充分条件是(　　)
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b，且c>d
B．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过其次象限
C. p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
答案　A
10．以下推断正确的是(　　)
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x>x0”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
解析　∵“负数的平方是正数”即∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x≤x0”，∴B不正确；∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有＝π.∴|a|＝1D⇒a＝1，∴a＝1是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C不正确；D正确．
答案　D
11．下列四个命题中，其中真命题是(　　)
①“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．
A．①② B．①②③④
C．②③④ D．①③④
解析　①逆命题：“若lgx＋lgy＝0，则xy＝1”为真命题．
②逆命题：“若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c”为真命题，依据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．
③当b≤0时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．
④真命题．
答案　B
12．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
解析　∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2，或a≥1.
又p∧q为真，故p，q都为真，∴
∴a≤－2，或a＝1.
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．写出命题：“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是________．
解析　一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．
答案　若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不都大于0
14．已知p：x2－x≥2，q：|x－2|≤1，且p∧q与綈q同时为假命题，则实数x的取值范围为________．
解析　由x2－x≥2，得x≥2，或x≤－1，
|x－2|≤1，得1≤x≤3，
∵p∧q与綈q同时为假命题，
∴q为真命题，p为假命题，∴1≤x<2.
答案　1≤x<2
15．已知直线l1：2x－my＋1＝0与l2：x＋(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是l1⊥l2的________条件．
解析　若l1⊥l2，只需2×1＋(－m)(m－1)＝0，
即m2－m－2＝0，即m＝2，或m＝－1，
∴m＝2是l1⊥l2的充分不必要条件．
答案　充分不必要
16．下列四种说法：
①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；
②若a，b∈R，则2a<2b是loga>logb的必要不充分条件；
③把函数y＝sin(－3x)(x∈R)的图象上全部的点向右平移个单位即可得到函数y＝sin(－3x－)(x∈R)的图象；
④若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝.
其中正确的说法是________．
解析　①正确．
②若2a<2b，则a<b，当a或b为负数时，loga>logb不成立，若loga>logb，∴0<a<b，∴2a<2b.故②正确．
③把y＝sin(－3x)的图象上全部点向右平移，得到y＝sin[－3(x－)]＝sin(－3x＋)，故③不正确．
④由题可知，a·b＝1×2cos＝－1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝3，∴|a＋b|＝，故④正确．
答案　①②④
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)推断下列命题是全称命题还是特称命题，并推断其真假．
(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°；
(2)有一些奇函数的图象过原点；
(3)∃x0∈R,2x＋x0＋1<0；
(4)∀x∈R，sinx＋cosx≤.
解　(1)可以改写为“平面内，全部凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．
(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，明显是真命题．
(3)是特称命题．∵2x＋x0＋1＝2(x0＋)2＋>0，
∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0，故该命题为假命题．
(4)是全称命题．∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤恒成立，∴对任意的实数x，sinx＋cosx≤都成立，故该命题是真命题．
18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并推断其真假．
解　逆命题为：“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．
由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．
19．(12分)设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
解　由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．
∴M∩P＝(2,3]，M∪P＝R
当x∈M，或x∈P时x∈(M∪P)＝R
Dx∈(2,3]＝M∩P.
而x∈(M∩P)⇒x∈R
∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别推断它们的真假．
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)有些质数是奇数；
(3)全部的方程都不是不等式；
(4)自然数的平方是正数．
解　原命题的否定形式：
(1)面积相等的三角形不肯定是全等三角形，为真命题．
(2)全部质数都不是奇数，为假命题．
(3)至少存在一个方程是不等式，为假命题．
(4)自然数的平方不都是正数，为真命题．
21．(12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．假如p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
解　对于命题p：当0<a<1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减．
当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以假如p为真命题，那么0<a<1.
假如p为假命题，那么a>1.
对于命题q：假如函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，
那么Δ＝(2a－3)2－4>0，
即4a2－12a＋5>0⇔a<，或a>.
又∵a>0，所以假如q为真命题，
那么0<a<或a>.
假如q为假命题，那么≤a<1，或1<a≤.
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
假如p真q假，那么
⇔≤a<1.
假如p假q真，那么⇔a>.
∴a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．
22．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.命题q：实数x满足
(1)当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解　(1)由x2－4ax＋3a2<0，得a<x<3a(a>0)．
当a＝1时，1<x<3，所以p：1<x<3.
由解得2<x≤3，所以q：2<x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}．
(2)设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，a>0}，B＝＝{x|2<x≤3}．
依据题意可得BA，则0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.
故实数a的取值范围是{a|1<a≤2}．