高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-疑难解析：导数概念.docx

有关导数概念的几个疑难问题
一、导数相关概念
1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。
函数y =在x点可导是在x点的性质，由于函数并不是确定在定义域内处处可导的。假如不存在，称函数在x点不行导；若存在，则称此极限值为函数在该点的导数。
2．y =在x点可导有以下三个条件：
①y =在x点处及其四周有意义；②左极限及其右极限都存在；③=，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不行导。
3．导函数y =与原来的函数y =有相同的定义域(a，b)．
4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区分：
①． 函数在一点处的导数y=是一个常数，不是变量．
②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数y =在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数y=．依据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =的导函数y =．
③．函数y =在点x处的导数y=就是导函数y =在点x = x处的函数值，即=|．
5．导数与连续的关系：
若函数y =在x处可导，则此函数在x处连续，但逆命题不成立，即函数y =在x处连续，未必在x处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高．
下面用两个例题说明这个问题．
例1 求证：若函数在点x处可导，则函数在点x处连续．
证明：∵函数在点x处可导，∴在点x处有：
[－] ==(·) =·=·0 = 0，
∴=，即函数在点x处连续．
例2 求证：函数= | x |在点x= 0处连续，但在x处不行导．
证明：∵①= 0；②| x | =| x | =| x | = 0 ；③=．
∴= | x |在点x= 0处连续．
① 又∵函数= | x |在点x= 0及其四周有意义；
②===== ；
③=－1，=1，即不存在，所以= | x |在点x= 0处不行导．
综上所述，函数= | x |在点x= 0处连续，但在在x处不行导．
综上，函数y =在点x处有定义、有极限、连续、可导是四个不同的概念，它们之间的关系是：
在点x处有定义，不愿定在x处连续；但在点x处连续，确定在点x处有定义，即在点x处有定义是在点x处连续的必要而不充分的条件。
在点x处连续，则在点x处确定有极限，且=；但在点x处有极限，不愿定在点x处连续，即在点x处连续是在点x处有极限的充分而不必要的条件。
在点x处连续是在点x处可导的必要而不充分的条件。