2020-2021学年高中人教B版数学必修四课时作业：3.1.3.docx

3．1．3　两角和与差的正切

课时目标　1．能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式．2．把握两角和与差的正切公式及变形运用．

1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________．
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝_____________________________________________________．
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝____________________________________________________________．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝__________________________________________．
tan αtan β＝_____________________________________________________________．
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝____________________________________________________________．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝__________________________________________．
tan αtan β＝______________________________________________________________．

一、选择题
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于(　　)
A．　　　　B．7　　　　C．－　　　D．－7
2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是其次象限角，则tan β的值是(　　)
A． B．－ C．－7 D．－
3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是(　　)
A． B． C． D．
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　)
A．1 B．2
C．tan 10° D．tan 20°
6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
7．＝________．
8．已知tan＝2，则的值为________．
9．假如tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________．
10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________．
三、解答题
11．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试推断△ABC的外形．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
求tan(α＋β)的值；

力气提升
13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．

1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特殊留意tan(＋α)＝，tan(－α)＝．
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有机敏应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．

3．1．3　两角和与差的正切 答案

学问梳理
1．(1)　(2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β)　tan(α＋β)　1－
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)　tan(α－β)　－1
作业设计
1．A　2．C　3．C
4．A　[tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．]
5．A　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)
＝tan 30°＝1．]
6．B　[tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，
即＝，解得tan Atan B＝．]
7．－
8．
解析　∵tan＝2，
∴＝2，解得tan α＝．
∴＝
＝＝＝．
9．－
解析　＝
＝＝＝－．
10．1
解析　tan β＝＝．
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α．
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1．
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β．
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1．
11．解　由tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)．
∴tan(B＋C)＝＝，
又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝．
又tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，
∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，
∴A＝，B＝C＝．∴△ABC为等腰三角形．
12．解　由条件得cos α＝，cos β＝．
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝．
因此tan α＝＝7，tan β＝＝．
tan(α＋β)＝＝＝－3．
13．解　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0．
而α∈(0，π)，故α∈(0，)．
∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π．
∴－π<α－β<0．而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－．
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，
∴2α－β＝－．
14．(1)证明　∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴
⇒
⇒＝2，所以tan A＝2tan B．
(2)解　∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，
∴tan(A＋B)＝－，即＝－．
将tan A＝2tan B代入上式并整理得，
2tan2 B－4tan B－1＝0．
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝．
∴tan A＝2tan B＝2＋．设AB边上的高为CD．
则AB＝AD＋DB＝＋＝．
由AB＝3，得CD＝2＋．
∴AB边上的高等于2＋．