2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第十一章-第二节证明不等式的基本方法.docx

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课时提升作业(七十四)
一、选择题
1.设a>b,a+b>0,则下列不等式中不愿定成立的是(　　)
(A)a2>ab>-a2 (B)>2a-b
(C)a2>b2 (D)>2b-a
2.(2021·孝感模拟)已知a,b,m是正实数,则不等式<(　　)
(A)当a>b时成立 (B)当a<b时成立
(C)是否成立与m有关 (D)确定成立
3.设实数a,b,c满足:a+b+c=0且abc≠0,则必有(　　)
(A)abc>0 (B)(a+b+c)≥
(C)ab+bc+ac<0 (D)a3+b3+c3>abc
4.若x2+xy+y2=1,且x,y∈R,则n=x2+y2的取值范围是(　　)
(A)0<n≤1 (B)2≤n≤3
(C)n≥2 (D)≤n≤2
5.已知a,b为正实数,x=,y=,则有(　　)
(A)x<y (B)x≤y (C)x≥y (D)x>y
6.已知a>0,b>0,m=+,n=+,p=,则m,n,p的大小挨次是(　　)
(A)m≥n>p (B)m>n≥p
(C)n>m>p (D)n≥m>p
7.已知a,b,c为正实数,x=,y=,z=,则有(　　)
(A)x≤y≤z (B)y≤x≤z
(C)y≤z≤x (D)z≤y≤x
8.(2021·武汉模拟)设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,若M=(-1)(-1)(-1),则必有(　　)
(A)0≤M< (B)≤M<1
(C)1≤M<8 (D)M≥8
9.已知函数f(x)=-2x+1,对于任意正数ε,使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分但不必要条件是(　　)
(A)|x1-x2|<ε (B)|x1-x2|<
(C)|x1-x2|< (D)|x1-x2|>
10.设a,b是正实数,以下不等式:
①>;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;
④ab+>2.其中恒成立的序号为(　　)
(A)①③ (B)①④
(C)②③ (D)②④
11.设a,b是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是(　　)
(A)(a+3)2>2a2+6a+11
(B)a2+≥a+
(C)|a-b|+≥2
(D)-≤-

二、填空题
12.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件为　　　　.
13.若{an}是各项都为正的等比数列,且公比q≠1,则a1+a4与a2+a3的大小关系是　　　　.
14.已知a,b,c为正实数,则++与++的大小关系是　　　　.
15.已知α,β是实数,给出下列四个论断:
①|α+β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;
③|α|>2,|β|>2;④|α+β|>5.
以其中的两个论断为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题　　　　.
三、解答题
16.(2021·荆州模拟)(1)设x是正实数,求证:
(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否照旧成立?假如成立,请给出证明,假如不成立,请举出一个使它不成立的x的值.

答案解析
1.【解析】选B.由条件a>b,a+b>0可知,b的符号不确定,故不等式>2a-b不愿定成立.
2.【解析】选B.∵<,∴-<0,
即<0,∵a>0,b>0,m>0,
∴a-b<0,即a<b,故选B.
3.【解析】选C.∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,
∴ab+bc+ac=-(a2+b2+c2).
∵abc≠0,∴a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ac<0.
【变式备选】已知x>y>z,且x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是(　　)
(A)xy>yz (B)xz>yz
(C)xy>xz (D)x|y|>z|y|
【解析】选C.由x+y+z=0,且x>y>z得x>0,z<0,而y>0,y=0,y<0均有可能.若y=0,A,D错误.
又x>y,z<0,所以xz<yz,因此B错误,同理C正确.
4.【思路点拨】可利用xy≤建立关于n的不等式,同时要留意隐含条件(x+y)2≥0.
【解析】选D.∵x2+y2≥2xy,
∴1=x2+y2+xy≤(x2+y2),即n≥.
又∵(x+y)2=x2+y2+2xy=n+2(1-n)≥0,
∴n≤2,∴≤n≤2.
5.【思路点拨】化简y6-x6,配方后推断符号得出答案.
【解析】选A.∵y6-x6=()6-()6=(a2+b2)3-(a3+b3)2
=a6+3a4b2+3a2b4+b6-a6-2a3b3-b6=3a2b2(a-b)2+4a3b3>0,
∴>.
6.【解析】选A.由已知,m=+,n=+,得a=b>0时m=n,可否定B,C.比较A,D项,不必论证m,n与p的关系.取特值a=4,b=1,则m=4+=,n=2+1=3,∴m>n,可排解D.
7.【解析】选B.∵a,b,c为正实数,∴≥,
∴x≥y.
又x2=,
z2=,
∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
∴3a2+3b2+3c2≥(a+b+c)2,∴z2≥x2,∴z≥x.
8.【解析】选D.由已知得M=(-1)(-1)·(-1)=≥=8.
【变式备选】已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,求证:
(1)++≥8. 　　　　(2)a2+b2≥.
(3)+≥8. 　　　　(4)(a+)2+(b+)2≥.
(5)(a+)(b+)≥.
(6)+≤2.
【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab或,因此只要利用a+b=1得出ab及的范围,就能够证出以上六个不等式.
【证明】由得≤⇒ab≤⇒≥4.
(1)∵++=(a+b)(+)+
≥2·2+4=4+4=8,
∴++≥8.
(2)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab
≥1-2×=,
∴a2+b2≥.
(3)∵+≥≥8,∴+≥8.
(4)由(2)、(3)的结论,知
(a+)2+(b+)2=a2+b2+4++
≥+4+8=,
∴(a+)2+(b+)2≥.
(5)方法一:
欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,
即证4(ab)2-33ab+8≥0,即证ab≤或ab≥8.
∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不行能成立.
∵1=a+b≥2,∴ab≤,从而得证.
方法二:
∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤,
(a+)(b+)-=·-
==≥0.
∴(a+)(b+)≥.
方法三:
∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤,
∴1-ab≥1-=⇒(1-ab)2≥⇒
⇒≥,
即(a+)(b+)≥.
(6)方法一:
∵x>0,y>0,∴x+y≥2,
∴2(x+y)≥(x+y)+2=(+)2
∴+≤,
由此得:+≤
===2.
方法二:
要证+≤2,
即证(+)2≤8,
即证2(a+b)+2+2·≤8,
∵a+b=1,从而只需证·≤2,
即证≤2,只需证ab≤,
而a>0,b>0,1=a+b≥2,
∴ab≤明显成立,故原不等式成立.
9.【解析】选C.由|f(x1)-f(x2)|=|(-2x1+1)-(-2x2+1)|=2|x1-x2|<ε知|x1-x2|<,∴选项A是必要但不充分条件,选项B是充要条件,选项C是充分但不必要条件,选项D是既不充分也不必要条件.
10.【解析】选D.∵a>0,b>0,∴a+b≥2,
∴≤=,故不等式①缺等号,不恒成立,因此排解选项A,B,又
∵(a2+b2)-(4ab-3b2)=a2-4ab+4b2=(a-2b)2≥0,故不等式③也缺等号,也不恒成立,因此又排解选项C,故选D.
11.【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0,
故A不成立;
在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B项中的不等式恒成立;
对C项中的不等式,当a>b时,恒成立,当a<b时,不成立;
由不等式≤恒成立,知D项中的不等式恒成立.故选C.
12.【解析】若x>y,则x-y=a2b2+5-(2ab-a2-4a)
=a2b2-2ab+a2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)2>0,
∴ab≠1或a≠-2.
答案:ab≠1或a≠-2
【方法技巧】1.作差比较法
(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、推断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了推断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.
(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时,常用作差比较法.
2.作商比较法
(1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、推断与1的大小关系,得出结论.
(2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时,常用作商比较法.
(3)利用作商比较法时,要留意分母的符号.
13.【解析】(a1+a4)-(a2+a3)
=a1+a1q3-a1q-a1q2=a1(1+q)(1-q)2,
∵an>0,∴q>0,又q≠1,
∴a1(1+q)(1-q)2>0,即a1+a4>a2+a3.
答案:a1+a4>a2+a3
14.【解析】由于+≥2,
+≥2,+≥2,
三式相加可得++≥++.
答案:++≥++
15.【解析】①③成立时,|α+β|=|α|+|β|>4>5,
∴④成立.又由①,知αβ>0,∴|α-β|≤|α+β|成立,
即②成立,同理②③⇒①④.
答案:①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)
16.【解析】(1)由于x是正数,由基本不等式知,
x+1≥2,1+x2≥2x,x3+1≥2,
故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2
=8x3(当x=1时等号成立).
(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3照旧成立.
由(1)知,当x>0时,不等式成立;
当x≤0时,8x3≤0.
而(x+1)(x2+1)(x3+1)
=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)
=(x+1)2(x2+1)[(x-)2+]≥0,
此时不等式照旧成立.
【方法技巧】不等式证明的方法与技巧
(1)不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式最基本的方法.
①比较法证不等式有作差(商)、变形、判号、结论四个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,推断过程必需具体叙述;假如作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证.
②综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,相互渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野.
(2)不等式证明还有一些常用的技巧:拆项、添项、逆代、换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,在应用换元法时,要留意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中提取.有些不等式,从正面证假如不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法.
(3)证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要生疏各种证法中的推理思维,并把握相应的步骤、技巧和语言特点.在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结论.
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