2020-2021学年高中数学(苏教版-选修1-2)-第2章-2.2.2-课时作业.docx

2.2.2　间接证明

课时目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种______________________的方法通常称为间接证明．__________就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有__________、__________等．
2．反证法
(1)反证法证明过程
反证法的证明过程可以概括为“__________—推理—________”，即从__________开头，经过__________，导致______________，从而达到____________(即确定原命题)的过程．
→→→
(2)反证法证明命题的步骤
①________——假设____________不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从________和____________动身，经过一系列正确的规律推理，得出冲突结果．
③存真——由____________，断定反设不真，从而确定原结论成立．

一、填空题
1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设__________________．
2．设x、y、z>0，则三数x＋，y＋，z＋的值______．
①都大于2　　　　　　　　 ②都不小于2
③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________________________．
4．“实数a、b、c不全为0”的含义是_________________________________________．
5．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________________．
6．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为____________．
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确挨次为__________．(填序号)
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．

二、解答题
9．已知三个正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：，，不行能成等差数列．

10．如图所示，已知△ABC为锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，H为垂足，求证：H不行能是△SBC的垂心．

力气提升
11．已知数列{an}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数．求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．

12．已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

1．在使用反证法时，必需在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．推理必需从假设动身，不用假设进行论证就不是反证法．
3．对于否定性命题，结论中毁灭“至多”、“至少”、“不行能”等字样时，常用反证法．

2．2.2　间接证明
答案

学问梳理
1．不是直接证明　反证法　同一法　枚举法
2．(1)否定　否定　否定结论　正确的推理　规律冲突
新的否定　否定结论q　(2)①反设　命题结论
②反设　已知条件　③冲突结果
作业设计
1．至少有两个钝角
2．③
解析　假设三个数都小于2，
则＋＋≤6
而＋＋
＝＋＋≥6冲突，
故③正确．
3．a，b，c都不是偶数
4．a、b、c中至少有一个不为0
5．{a|a≤－2或a≥－1}
6．x＝a或x＝b
解析　否定结论时，确定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
7．③①②
解析　考查反证法的一般步骤．
8．丙
解析　若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．
9．证明　假设，，成等差数列，
则＝＋＝.
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴＝⇒b2＝ac.
∴2＝ac⇒(a＋c)2＝4ac⇒(a－c)2＝0⇒a＝c.
又2b＝a＋c，∴a＝b＝c.
因此，d＝b－a＝0，这与d≠0冲突．
所以，，不行能成等差数列．
10．证明　假设H是△SBC的垂心，
连接BH并延长BH与SC相交，则BH⊥SC.

又∵AH⊥平面SBC，
∴AH⊥SC，
∴SC⊥平面ABH，
∴SC⊥AB.
又∵SA⊥平面ABC，
∴AB⊥SA.
∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.
即∠BAC＝90°，这与三角形ABC为锐角三角形冲突，所以H不行能是△SBC的垂心．
11．证明　假设存在一个实数λ，使数列{an}是等比数列，则有a＝a1a3，
即2＝λ，
即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，上式明显不成立，所以假设不成立，所以数列{an}不是等比数列．
12．证明　假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.
∴ax0＋＝0⇔ax0＝－.
∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－<1.
解上述不等式，得<x0<2.
这与假设x0<0冲突．故方程f(x)＝0没有负数根．